負の二項分布が分布であることを証明するときに出てくるアレ
お久しぶりです．今回は負の二項分布がちゃんと分布になっていることを証明していきます．
そもそも負の二項分布とは？
実数$0< p<1$と整数$r>0$に対して，離散型確率変数$X$が負の二項分布$N(r, p)$に従うとは，任意の非負整数$k$に対して，
$$
P(X = k) = {}_{k + r - 1}C_{k}\ p^r(1 - p)^k
$$
が成り立つことである．
これ本当に分布になってるの？ ということで，証明すべきことはこれがwell-defined であるということです．次を示せば十分でしょう．
$$
\sum_{k = 0}^\infty {}_{k + r - 1}C_{k}\ p^r(1 - p)^k = 1 \ \ (0 < p < 1)
$$
が成り立つ．
これの証明をちゃんと書いているサイトを私は知らないです．ご存じの方は教えてください．
では証明していきましょう．
$\displaystyle f_{n, r} = \sum_{k = 0}^n {}_{k + r - 1}C_{k}\ (1 - p)^k$ とおく．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n, r} = p^{-r}$を示すことが目標である．
\begin{align*}
f_{n, r + 1} &= \sum_{k = 0}^n {}_{k + r}C_{k}\ (1 - p)^k \\
&= 1 + \sum_{k = 1}^n ({}_{k + r - 1}C_k + {}_{k + r - 1}C_{k - 1})\ (1 - p)^k \\
&= f_{n, r} + \sum_{k = 1}^n {}_{k + r - 1}C_{k - 1}\ (1 - p)^k \\
&= f_{n, r} + \sum_{k = 0}^{n - 1} {}_{k + r}C_k\ (1 - p)^{k + 1} \\
&= f_{n, r} + (1 - p)(f_{n, r + 1} - {}_{n + r}C_n\ (1 - p)^n) \\
pf_{n, r + 1} &= f_{n, r} - {}_{n + r}C_n\ (1 - p)^{n + 1}
\end{align*}
となるから，ここで$g_{n, r} := p^rf_{n, r}$とおくと，$g_{n, 1} = 1 - (1 - p)^{n + 1}$であり，上の漸化式は
$$
g_{n, r + 1} = g_{n, r} - {}_{n + r}C_n\ (1 - p)^{n + 1}p^r
$$
となる．したがって
$$
g_{n, r} = g_{n, 1} - \sum_{k = 1}^{r - 1} {}_{n + k}C_n\ (1 - p)^{n + 1}p^k = 1 - (1 - p)^{n + 1}\sum_{k = 0}^{r - 1} {}_{n + k}C_n\ p^k
$$
が成り立つ(ただし，空和は0とする)．
さて，最右辺第2項は$n$についての高々$r - 1$次多項式であり，$0< p<1$ということに注意すると，
$$
\lim_{n \to \infty} g_{n, r} = 1
$$
となり，示された．
これは，一般化二項定理の特別な場合を完全に高校数学の範囲で証明していることになります．多くのサイトでは，一般化二項定理を既知としたり，なにやら高度な解析手法を使って証明を行っています．
さらに，$g_{n, r}$が非常に示唆的です．定義から，$g_{n, r}$は負の二項分布$N(r, p)$の分布関数を表しています．すなわち
$$
F(n) = P(X \leq n) = g_{n, r} = 1 - (1 - p)^{n + 1}\sum_{k = 0}^{r - 1} {}_{n + k}C_n\ p^k
$$
です．おお，なんと素晴らしい．
今回は以上になります．
