本記事はpart1です。
nを2以上の整数とするとき
直感的には当たり前(?)かもしれないですが、示すのは一筋縄では行かないようです。色々実験してみましょう.
Snを既約分数で表す時、
となります.実験より、分子=奇数、分母=偶数ではないかと推測できそうです。
実際にこれらを証明していきます.
まず分母=偶数を示します。既約分数で表した時の分母は2〜nの最小公倍数ですから、この時点で分母=偶数であることが言えます。
さて本題ですが、分子=奇数であることを証明していきます。
2≦k≦nにおいて
とおくとき、分子は
の形で表されます
Tkに関してもう少し深く実験を進めていくと、
n=4では Tkは順に6,4,3
n=5では Tkは順に30,20,15,12
n=6では Tkは順に30,20,15,12,10
n=7では Tkは順に210,140,105,84,70,60
n=8では Tkは順に420,280,210,168,140,120,105
どうでしょうか?1つだけ奇数で他は偶数になっていそうですよね。これが正しければ分子が奇数であることがわかるため、分母の偶奇性の違いにより題意が示されます。これを示しましょう! .
Tkはただ一つのkで奇数値を取り、その他の場合では偶数である。
上の実験で奇数になっている項は
n=4,5,6,7の時はk=4
n=8の時はk=8
kが2の冪乗の時にTkが奇数になることが予想できそうです。
2の素因数に注目すれば、最大公約数Lとkの2の素因数が等しくなる時はTkは奇数になりますよね.問題はそのようなkがただ一つしかないということです、これを示します.
nに対して、nを超えぬ最大の2の冪乗数は
したがって補題は示され、これによって題意が成り立つことが言えます。
①因数分解
②不等式を立てて範囲を絞る
③余りや素因数に注目する
受験の整数問題は基本この3原則の組み合わせで解けることが多いはずです。今回は2の素因数に注目しました。