凹多角形の内角の和

図形から「辺を共有する多角形」を一つ削り取る操作を考える。
元の多角形を$P_0$,削り取る多角形を$P_d$,できる凹多角形を$P_c$とする。
また、それぞれの角数を$n_0$,$n_d$,$n_c$
内角の和を$D_0$,$D_d$,$D_c$
とする。

$P_0$の内角について次式が成り立つとする。
$D_0=(n_0-2)\pi$

$P_0$と$P_d$は$2$つの頂点を共有しているので、$P_c$の角数は
$n_c=n_0+n_d-2$

$P_d$の内角を、${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{n_d}$とする(${\alpha }_1,{\alpha }_{n_d}$は$P_0$と頂点を共有)と
$P_c$の内角の和は
$$D_c=D_0-({\alpha }_1+{\alpha }_{n_d})+(2\pi -{\alpha }_2)+(2\pi -{\alpha }_3)+\cdots +(2\pi -{\alpha }_{n_d-1})$$
また、$P_d$の内角の和は
$$D_d={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_{n_d}$$
辺々足すと
$$D_c+D_d=D_0+2\pi (n_d-2)$$
よって
$$D_c=D_0-D_d+2\pi (n_d-2)$$
$D_0=(n_0-2)\pi$,$D_d=(n_d-2)\pi$であるので
$$\begin{array}{rl}{D}_c& =(n_0-2)\pi -(n_d-2)\pi +2\pi (n_d-2)\\ & =(n_0+n_d-4)\pi \\ & =(n_c-2)\pi \end{array}$$

以上より、この操作で角数と内角の和の関係は変わらない。
同様の操作を何回行っても同じ議論ができるので
命題が成立する。

$${\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3+\cdots +{\beta }_{n_0}=(n_0-2)\pi$$
$${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+\cdots +{\alpha }_{n_d}=(n_d-2)\pi$$
辺々引くと
$$T-P=(n_0-n_d)\pi$$
よって
$$T=P+(n_0-n_d)\pi$$
とくに$n_0=n_d$のとき
$$T=P$$