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Regularized Max Function

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ここではDemの補題 5.18（43ページ）で紹介されている regularized max function について解説する．一言でいうと，軟化子をうまく取れば $max$ との合成積をとったときにうまい性質をもってくれる，という話である．

簡単のために，まずは2つの滑らかな関数 $u_{1}, u_{2} : R \to R$ を考えよう．これらの最大値をとった関数 $max {u_{1}, u_{2}}$ は一般には滑らかにならない．それは $max {x, y}$ が滑らかでないことに由来すると考えられる．そこで，次のような性質をもつ関数 $M (x, y)$ があれば， $max$ を $M$ で代用することにより“滑らかな最大値”を与える関数が得られそうである．

$M$ は $C^{\infty}$ 級の関数
$max {x, y} ≦ M (x, y)$ （あわよくば，上からも抑えたい）

なお，多変数関数論や複素幾何では（多重）劣調和関数が大切になり，各変数について単調増加で，しかも凸な関数と（多重）劣調和関数の組との合成は再び劣調和関数になるから

$M$ は各変数について単調増加で，しかも凸である

という条件もついていれば文句なしである．
そして（変数の数は一般で）これに肯定的な答えを与えてくれるものが，regularized max function である．

滑らかな関数 $θ : R \to R_{\geq 0}$ は台が $[- 1, 1]$ に含まれ， $\int_{R} θ (h) d h = 1$ , $\int_{R} h θ (h) d h = 0$ をみたすものとする．
任意の非負の実数の組 $η = (η_{1}, \dots, η_{n})$ に対し，関数
$\begin{array}{r} M_{η} (t_{1}, \dots, t_{n}) = \int_{R^{n}} max {t_{1} - h_{1}, \dots, t_{n} - h_{n}} \prod_{1 \leq j \leq n} \frac{1}{η_{j}} θ (\frac{h_{j}}{η_{j}}) d h_{1} \dots d h_{n}, t_{j} \in R \end{array}$
は次の性質をもつ：
(1) $M$ は滑らかで，各変数について単調増加であり，さらに凸である．
(2) $max {t_{1}, \dots, t_{n}} \leq M_{η} (t_{1}, \dots, t_{n}) \leq max {t_{1} + η_{1}, \dots, t_{n} + η_{n}}$ が成り立つ．
(3) $u_{1}, \dots, u_{n} : C^{m} \to R \cup {- \infty}$ を多重劣調和関数とするとき， $M_{η} (u_{1}, \dots, u_{n})$ も多重劣調和関数である．

変数変換 $h_{j}^{'} = t_{j} - h_{j}$ と積分記号下の微分により滑らかであることがわかる． $t_{j} \leq t_{j}^{'}$ のとき $max {t_{1} - h_{1}, \dots, t_{j} - h_{j}, \dots, t_{n} - h_{n}} \leq max {t_{1} - h_{1}, \dots, t_{j}^{'} - h_{j}, \dots, t_{n} - h_{n}}$ であることから各変数について単調増加であることが従い，凸性も $max$ が凸であることから分かる．
左側の不等式は，各 $j$ について $max {t_{k} - h_{k}} \geq t_{j} - h_{j}$ であることから分かる．右側を示す． $θ$ の台に注目すれば $\prod_{j} [- η_{j}, η_{j}]$ において積分を考えれば良いと分かる．このとき $max {t_{j} - h_{j}} \leq max {t_{j} + η_{j}}$ であり，これは $h_{j}$ によらないから積分の外に出て，残った積分は $θ$ の仮定により $1$ である．
次の等式により分かる：
$\begin{aligned} \sum_{j, k = 1}^{m} \frac{\partial^{2} M_{η} (u_{1}, \dots, u_{n})}{\partial z_{j} \partial \overset{―}{z_{j}}} w_{j} \overset{―}{w_{k}} & = \sum_{p, q = 1}^{n} \frac{\partial^{2} M}{\partial x_{p} \partial x_{q}} (u_{1}, \dots, u_{n}) (\sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial u_{p}}{\partial z_{j}} w_{j}) \overset{―}{(\sum_{k = 1}^{m} \frac{\partial u_{q}}{\partial z_{k}} w_{k})} \\ + n \sum_{q = 1}^{n} \frac{\partial M}{\partial x_{q}} \sum_{j, k = 1}^{m} \frac{\partial^{2} u_{q}}{\partial z_{j} \partial \overset{―}{z_{k}}} w_{j} \overset{―}{w_{k}} . \end{aligned}$