東工大数学過去問解答例(2024-5)

まず$f$の根が実数であるとき、$(a,b)=(0,-1),(2,1),(-2,1)$である。以下虚数根を持つ場合を考える。この根を$\alpha ,\bar{\alpha }$とすると、
$$b=\alpha \bar{\alpha }=\sqrt[n]{{\alpha }^n{\bar{\alpha }}^n}=\sqrt[n]{1}=1$$
である。ここで$f$は虚数根を持つから、$a^2-4<0$である。よって$a=0,\pm 1$である。$a=0$のとき$f$の根は$\pm \sqrt{-1}$、$a=1$のとき$f$の根は$\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$、$a=-1$のとき$f$の根は$\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}$であるからいずれも条件を満たしている。よって$(a,b)=(0,\pm 1),(\pm 2,1),(\pm 1,1)$である。