東工大数学過去問解答例(2024-5)

まず$f$の根が実数であるとき、$(a,b)=(0,-1),(2,1),(-2,1)$である。以下虚数根を持つ場合を考える。この根を$\alpha,\overline{\alpha}$とすると、
$$ b=\alpha\overline{\alpha}=\sqrt[n]{\alpha^n\overline{\alpha}^n}=\sqrt[n]{1}=1 $$
である。ここで$f$は虚数根を持つから、$a^2-4<0$である。よって$a=0,\pm1$である。$a=0$のとき$f$の根は$\pm \sqrt{-1}$、$a=1$のとき$f$の根は$\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$、$a=-1$のとき$f$の根は$\frac{1\pm \sqrt{-3}}{2}$であるからいずれも条件を満たしている。よって$(a,b)=\color{red}(0,\pm1),(\pm2,1),(\pm1,1)$である。