Hirsch 微分トポロジーの問題1.3.4 いくつかの球面の積の埋め込み

　(補題の証明)
　$\mathbb R^{m+1}$を、$\mathbb R^{m+p+1}$の中で後ろの$p$成分がゼロであるような集合とみなす事で、$M$の$\mathbb R^{m+1}$への埋め込みを$\mathbb R^{m+p+1}$への埋め込みとしてみなせ、この埋め込みを$i$とする。
　いま、管状近傍定理より、$i(M)$の(十分小さい)近傍$U$は、その法束の零断面の開近傍$W$との間に微分同相$F$がある。特に、$U$は$\mathbb R^{m+p+1}$へ自然に埋め込まれているので、$F$もまた自然に埋め込みになる。
　また、$i(M)$の法束は階数$p+1$の自明束であるから、自然に$W\subset M×\mathbb R^{p+1}$とみなせる。
　$M$はコンパクトなので、零断面$M×\{0\}\subset W$の周りに一様な半径$r$を取って、$M×D_r^{p+1}\subset W$となるように取れる。よってその境界である$M×S^p_r=\partial(M×D_r^{p+1})$もまた$W$の中にある。
　ゆえに、$F$を$M×S^p_r$に制限すれば、それは$\mathbb R^{m+p+1}$への埋め込みになる。
　また、$M×S^p_r\subset M×\mathbb R^{p+1}$の法束は明らかに自明。(実際、各点$(x,u)$に対して法方向が$\mathbb R^{p+1}$方向のベクトル$u$によって貼られるため、自明化は$(x,u)\mapsto u/|u|$で与えられる。)
　$F$は微分同相なので、その像$F(M×S^p_r)$の法束も自明。
　特に、$M×S^p_r$は明らかに$M×S^p$に微分同相のため、その微分同相と$F$の合成により、$M×S^p$は$\mathbb R^{m+p+1}$に自明な法束を持つように滑らかに埋め込める。