自作問題あなぐら 3（複素数平面上のパラメータ曲線）

問題

　複素数 $z$ を
$z = \sqrt{t | t - 2 |} + t i$
と定める． $t$ が全ての実数を動くとき，複素数平面において点 $z$ が描く図形を図示せよ．ただし， $i$ は虚数単位である．

余話

　この問題は，僕が受験生時代に受けた代ゼミの模試（確か，京大模試だったはず）で出題された問題を改良したものです．元になった問題の答えは（当時の僕にとっては）ヘンテコな曲線になっていて，模試中に「これ本当に合ってる？」と何度も見直して，時間を浪費してしまった記憶があります（それでも計算ミスしてたので，それ以降「見直し」というものが信用できなくなりました）．
　この問題も「答えをヘンテコ曲線にしてやるぜ！」というモチベーションで作りました．かなり人工的な，THE大学受験数学という側面が強い問題です．

解答

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　 $z$ の根号内の正負で場合分けする．
(i) $t \leq 0$ のとき， $z = {t + \sqrt{t (t - 2)}} i$ ．ここで $f (t) = t + \sqrt{t (t - 2)} (t \leq 0)$ とおくと $f^{'} (t) = 1 + \frac{t - 1}{\sqrt{t (t - 2)}} = \frac{- 1}{\sqrt{t (t - 2)} {\sqrt{t (t - 2)} + (1 - t)}} < 0.$ 　よって $f (t)$ は単調減少で， $lim_{t \to - \infty} f (t) = lim_{t \to - \infty} \frac{2}{1 + \sqrt{1 - 2 / t}} = 1$ および $f (0) = 0$ ．したがって，点 $z$ は複素数平面上で $L_{1} = {z \in C ∣ z = k i, 0 \leq k < 1}$ を描く．

(ii) $0 < t \leq 2$ のとき， $z = \sqrt{t (2 - t)} + t i$ で， $Re (z) = \sqrt{t (2 - t)}$ かつ $Im (z) = t$ ． $x := Re (z)$ ， $y := Im (z)$ とおくと
$\exists t \in (0, 2] s . t . {\begin{cases} x = \sqrt{t (2 - t)}, \\ y = t \end{cases} ⟺ x^{2} = y (2 - y) かつ x \geq 0 かつ 0 < y \leq 2$
よって点 $z$ は複素数平面上で $L_{2} = {z \in C ∣ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1, x \geq 0, 0 < y \leq 2}$ を描く．

(iii) $t > 2$ のとき， $z = \sqrt{t (t - 2)} + t i$ で， $Re (z) = \sqrt{t (t - 2)}$ かつ $Im (z) = t$ ． $x := Re (z)$ ， $y := Im (z)$ とおくと
$\exists t \in (0, 2] s . t . {\begin{cases} x = \sqrt{t (t - 2)}, \\ y = t \end{cases} ⟺ x^{2} = y (y - 2) かつ x \geq 0 かつ y > 2$
よって点 $z$ は複素数平面上で $L_{3} = {z \in C ∣ x^{2} - (y - 1)^{2} = - 1, x \geq 0, y > 2}$ を描く．

　以上より， $t$ がすべての実数を動くとき，点 $z$ が複素数平面上で描く図形 $L$ は $L = L_{1} \cup L_{2} \cup L_{3}$ ．これを図示すると以下を得る．
!FORMULA[37][36988][0]の概形 $L$ の概形