自作問題あなぐら 3（複素数平面上のパラメータ曲線）

　$z$の根号内の正負で場合分けする．
(i) $t \leq 0$のとき，$z = \{t + \sqrt{t(t - 2)}\} i$．ここで$f(t) = t + \sqrt{t (t - 2)} \ (t \leq 0)$とおくと$$ f'(t) = 1 + \frac{t - 1}{\sqrt{t (t - 2)}} = \frac{- 1}{\sqrt{t (t - 2)} \{\sqrt{t (t - 2)} + (1 - t)\}} < 0.$$　よって$f(t)$は単調減少で，$\displaystyle \lim_{t \to - \infty} f(t) = \lim_{t \to - \infty} \dfrac{2}{1 + \sqrt{1 - 2/t}} = 1$および$f(0) = 0$．したがって，点$z$は複素数平面上で$L_1 = \{z \in \mathbb{C} \mid z = k i, \ 0 \leq k < 1\}$を描く．

(ii) $0 < t \leq 2$のとき，$z = \sqrt{t(2 - t)} + t i$で，$\Re(z) = \sqrt{t (2 - t)}$かつ$\Im(z) = t$．$x := \Re(z)$，$y := \Im(z)$とおくと
$$ \exists t \in (0,\ 2] \ \mathrm{s.t.} \ \begin{cases} x = \sqrt{t (2 - t)}, \\ y = t \end{cases} \iff x^2 = y(2 - y) \ \text{かつ} \ x \geq 0 \ \text{かつ} \ 0 < y \leq 2 $$
よって点$z$は複素数平面上で$L_2 = \{z \in \mathbb{C} \mid x^2 + (y - 1)^2 = 1,\ x \geq 0,\ 0 < y \leq 2\}$を描く．

(iii) $t > 2$のとき，$z = \sqrt{t(t - 2)} + t i$で，$\Re(z) = \sqrt{t (t - 2)}$かつ$\Im(z) = t$．$x := \Re(z)$，$y := \Im(z)$とおくと
$$ \exists t \in (0,\ 2] \ \mathrm{s.t.} \ \begin{cases} x = \sqrt{t (t - 2)}, \\ y = t \end{cases} \iff x^2 = y(y - 2) \ \text{かつ} \ x \geq 0 \ \text{かつ} \ y > 2 $$
よって点$z$は複素数平面上で$L_3 = \{z \in \mathbb{C} \mid x^2 - (y - 1)^2 = - 1,\ x \geq 0,\ y > 2\}$を描く．

　以上より，$t$がすべての実数を動くとき，点$z$が複素数平面上で描く図形$L$は$L = L_1 \cup L_2 \cup L_3$．これを図示すると以下を得る．
$L$の概形