不等式bot 問題194.

不等式bot 問題194.

解説

まず,$a,b,c$の3乗和と積を作ることを考える.
$(a+b+c{)}^3$を展開すると$x^{2}y$なる項が出てくるから,AM-GM不等式で$abc$とするために工夫して括ると,

$$\begin{array}{rl}(a+b+c{)}^3& =a^3+b^3+c^3+3a(b^2+c^2)+3b(c^2+a^2)+3c(a^2+b^2)+6abc\end{array}$$

言うまでもなく,係数は多項係数より上のようになる.
AM≥GMより,

$$\begin{array}{rl}(a+b+c{)}^3& =a^3+b^3+c^3+3a(b^2+c^2)+3b(c^2+a^2)+3c(a^2+b^2)+6abc\\ & \ge a^3+b^3+c^3+3a\cdot 2bc+3b\cdot 2ca+3c\cdot 2ab+6abc\\ & =a^3+b^3+c^3+24abc\end{array}$$

3乗根を取り,更に与不等式右辺のように分解したいから,凸不等式に持っていくことを考える.
係数の和を括ると,

$$\begin{array}{rl}(a+b+c{)}^3& \ge 27(\frac{a^3+b^3+c^3}{27}+\frac{24abc}{27})\\ & =27(\frac{a^3+b^3+c^3}{27}+\frac{8abc}{9})\\ & =27(\frac{1}{9}\cdot \frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{8}{9}abc)\end{array}$$

$a^3+b^3+c^3$と$abc$の係数の和が1になるように上手く調整できた.
3乗根を取ると,Jensenの不等式より,

$$\begin{array}{rl}a+b+c& =\sqrt[3]{27(\frac{1}{9}\cdot \frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{8}{9}abc)}\\ & \ge 3(\frac{1}{9}\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+\frac{8}{9}\sqrt[3]{abc})\\ & =\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+\frac{8}{3}\sqrt[3]{abc}\end{array}$$

故に,両辺に3を乗じると,与不等式

$$3(a+b+c)\ge 8\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}(\mathrm{等}\mathrm{号}\mathrm{成}\mathrm{立}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{は}a=b=c)$$

を得る.