不等式bot 問題194.

不等式bot 問題194.

解説

まず,$a,b,c$の3乗和と積を作ることを考える.
$(a+b+c)^3$を展開すると$x^2y$なる項が出てくるから,AM-GM不等式で$abc$とするために工夫して括ると,

$$ \begin{align} (a+b+c)^3 &= a^3+b^3+c^3+3a(b^2+c^2)+3b(c^2+a^2)+3c(a^2+b^2)+6abc \\ \end{align} $$

言うまでもなく,係数は多項係数より上のようになる.
AM≥GMより,

$$ \begin{align} (a+b+c)^3 &= a^3+b^3+c^3+3a(b^2+c^2)+3b(c^2+a^2)+3c(a^2+b^2)+6abc \\ &\geq a^3+b^3+c^3+3a \cdot 2bc+3b \cdot 2ca+3c \cdot 2ab+6abc \\ &=a^3+b^3+c^3+24abc \end{align} $$

3乗根を取り,更に与不等式右辺のように分解したいから,凸不等式に持っていくことを考える.
係数の和を括ると,

$$ \begin{align} (a+b+c)^3 &\geq 27\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{27}+\frac{24abc}{27}\right) \\ &= 27\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{27}+\frac{8abc}{9}\right) \\ &= 27\left(\frac{1}{9}\cdot\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{8}{9}abc\right) \\ \end{align} $$

$a^3+b^3+c^3$と$abc$の係数の和が1になるように上手く調整できた.
3乗根を取ると,Jensenの不等式より,

$$ \begin{align} a+b+c &= \sqrt[3]{27\left(\frac{1}{9}\cdot\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{8}{9}abc\right)} \\ &\geq 3\left(\frac{1}{9}\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+\frac{8}{9}\sqrt[3]{abc}\right) \\ &= \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}+\frac{8}{3}\sqrt[3]{abc} \end{align} $$

故に,両辺に3を乗じると,与不等式

$$ 3(a+b+c) \geq 8 \sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}} \ \ (\mathrm{等号成立条件は} \ a=b=c) $$

を得る.