存在しないことの証明問題がわからないからわかる人お願いします（切実）

以下、自分のわからない問題を提示する. 解答解説求ム.

問題

$n$を$6$で割ると$1$余る自然数とし、$x$について$x>0$のとき、$$ f(x)=\frac{x^{2n}-x^n+1}{x^2+x+1}+\frac{x^{2n}+x^n+1}{x^2-x+1}$$と定める。
このとき、$f(x)$が整数値を取るような$x$の値が存在しないことを証明してください。

なにぶん数学ができる身内もおらず、AIに課金もしていないので、これを解決するには自分の天才的なひらめきを待つのみですが、そんなラマヌジャンのような天啓降ってこないので、わかる人よろしくお願いします<(_ _)>

おまけ[入試数学が恋しくなった人へ]

・・・さらに、$x^{4n}+x^{2n}+1$を$x^4+x^2+1$で割ったときの商を$q_1(x)$とし、$f(x)$を通分して得られる分子の多項式を$x^4+x^2+1$で割ったときの商を$q_2(x)$として、$g(x)=f(x)-q_2(x)$と定める。
(1)次の等式が成り立つことを証明してください。（任意の自然数$n$について成り立ちます）
$$ \frac{x^{4n}+x^{2n}+1}{x^4+x^2+1}=\frac{1+x^6+x^{12}+ \cdots\cdots+x^{6(n-1)} }{1+x^2+x^{4}+ \cdots\cdots+x^{2(n-1)}}$$

(2)$0< x<1$のとき、次の$3 $数の大小を比較してください。
$$ 4q_1(x),\{f(x)\}^2,\{2x^{2(n-1)}\}^2$$
(3)$g(x)$が整数値を取るような$x$の値をすべて求めてください。