【スピン幾何】Rarita-Schwinger場 1 ～定義～
Rarita-Schwinger場の定義について勉強したのでノートを書きます。物理と数学の両方の文脈で述べます。なお私のRS場に対する理解は不完全であり、間違いがあるかもしれません（おおよそは合ってるとは思いますが）。RS場は一言で言ってしまえば、捻じれDirac作用素の固有3/2スピノルのことです。
convention
$(M,g):n$次元擬リーマンスピン多様体
$\nabla:g$から定まるリーマン接続
$S:$スピン束
$\nabla^S:$スピン接続
$\gamma_i:$Clifford代数の既約表現の生成子($\gamma_i\gamma_j+\gamma_j\gamma_i=-2\eta_{ij}$)
$\{e_i\}:$o.n.frame
$\{\theta^i\}:$o.n.co-frame
Clifford積は$e_i\cdot\mapsto \gamma_i,\ \theta^i\cdot\mapsto \gamma^i$
$\Gamma(F):$ベクトルバンドル$F$の滑らかな切断の集合
$\gamma^{ijk}=\gamma^{[i}\gamma^j\gamma^{k]}$
$\nabla_i:=\nabla_{e_i}$
$\langle\psi,\phi\rangle_M:=\int_M\langle\psi,\phi\rangle dv$(ただし$\langle,\rangle$は適当な内積)
登場する場はコンパクト台を持つかまたはベクトル場の発散の積分が消える程度の性質を持つとする
添え字の上げ下げは$\eta^{ij},\eta_{ij}$で行う
$E:=S\otimes T^*M$とする。$\psi\in\Gamma(E)$は、$\psi_i\in\Gamma(S), i=1,\cdots,n$を用いて、
$$
\psi=\psi_i\otimes\theta^i
$$
と表されます。さらに$E$にはリーマン接続から自然に接続が定まり、これを$\nabla^E$と書くことにすると
\begin{align}
\nabla^E_i\psi&=\nabla^S_i\psi_j\otimes\theta^j+\psi_j\otimes\nabla_i\theta^j
=\nabla^S_i\psi_j\otimes\theta^j+\psi_j\otimes(-\Gamma^j_{ik}\theta^k)\\
&=(\nabla^S_i\psi_j-\Gamma^k_{ij}\psi_k)\otimes\theta^j
\end{align}
となるので、$\nabla^E_i\psi_j=\nabla^S_i\psi_j+\Gamma^k_{ij}\psi_k$と書くことにします。
また、$\Gamma(E)$に作用するねじれDirac作用素を
\begin{align}
D^E\psi:=\gamma^i\nabla^E_i\psi=\gamma^i\nabla^E_i\psi_j\otimes\theta^j
\end{align}
と定義します。通常のDirac作用素は$D$と書きます。
mathematical RS場
スピン幾何の文脈でのRS場の定義を述べる。まず$\Pi:\Gamma(E)\to \Gamma(S)$を
$$
\Pi\psi:=\gamma^i\psi_i
$$
とする。このとき、ベクトル束としての直和分解
$$
E=\ker\Pi\oplus S
$$
が成り立つ。またPenrose作用素$P$は次のように定義される。
作用素$P:\Gamma(S)\to \Gamma(E)$
\begin{align}
P(\psi):=\left(\nabla^S_i\psi+\frac{1}{n}\gamma_iD\psi\right)\otimes\theta^i
\end{align}
をPenrose作用素(またはtwistor作用素)と呼ぶ。
定義から$\Pi\circ P\psi=0$であるから${\rm Im} P\subset \ker\Pi$であることが分かる。よって$P$の形式的随伴作用素$P^*:\ker\Pi\to \Gamma(S)$が定義される。
$\psi\in\ker\Pi$に対して、
\begin{align}
P^*\psi=-(\nabla^E)^i\psi_i
\end{align}
である。
$\psi=\psi_i\otimes\theta^i\in\ker\Pi,\phi\in\Gamma(S)$に対して、
\begin{align}
&\langle (\nabla_i\phi+\gamma_iD\phi/n)\otimes\theta^i,\psi_j\otimes\theta^j\rangle_M
=\langle\nabla^S_i\phi,\psi^i\rangle_M+\langle\gamma_i D\phi/n,\psi^i\rangle_M\\
&=\langle\phi,-\nabla^S_i\psi^i\rangle_M-\langle D\phi/n,\gamma_i\psi^i\rangle_M\\
&=\langle\phi,-\nabla^E_i\psi^i\rangle_M-\int_M\Gamma^i_{jk}g^{jk}\langle\phi,\psi^i\rangle dv\\
&=\langle\phi,-\nabla^E_i\psi^i\rangle_M
\end{align}
そしてねじれDirac作用素の$\ker\Pi$への制限としてRS作用素が定義される。
分解$E=S\oplus\ker\Pi$に関して、
\begin{align}
D^E=\begin{pmatrix}
\frac{2-n}{n}D & 2P^* \\
\frac{2}{n}P & Q
\end{pmatrix}
\end{align}
が成り立つ。ここで$P$はPenrose作用素、$P^*$は$P$の形式的随伴作用素である。$Q$をRS作用素と呼ぶ。
証明する前に公式を準備しておきます。
\begin{align} \gamma^k\nabla^E_j\psi_k=\nabla^S_j\Pi\psi \end{align}
$-\Gamma^i_{jk}\gamma^k\cdot=(\nabla_j\theta^i)\cdot$に注意すると
\begin{align}
\gamma^k\nabla^E_j\Psi_k=\gamma^k(\nabla^S_j\psi_k-\Gamma^i_{jk}\psi_i)=\gamma^k\nabla^S_j\psi_k+(\nabla_j\theta^i)\psi_i=\nabla^S_j\Pi\psi
\end{align}
\begin{align}
D^E=\begin{pmatrix}
A & B \\
C & Q
\end{pmatrix}
\end{align}
とすると、$A=\Pi\circ D^E\circ \Pi,\ B=\Pi\circ D^E\circ \Pi^\perp,\ C=\Pi^\perp\circ D^E\circ \Pi$である。ここで$ \Pi^\perp:\Gamma(E)\to\ker\Pi$は
$$
\Pi^\perp\psi=\psi+\frac{1}{n}\gamma_i\gamma^k\psi_k\otimes\theta^i
$$
で与えられる。
(i) $A=\frac{2-n}{n}D$の証明
$ \Pi^{-1}:\Gamma(S)\ni\phi\mapsto -\frac{1}{n}\gamma_i\phi\otimes\theta^i\in\Gamma(E)$であるので、
\begin{align}
D^E\circ \Pi^{-1}(\phi)=-\frac{1}{n}D^E(\gamma_i\phi\otimes\theta^i)=-\frac{1}{n}\gamma^j\nabla^E_j(\gamma_i\phi\otimes\theta^i)=-\frac{1}{n}\gamma^j\nabla^E_j(\gamma_k\phi)\otimes\theta^k
\end{align}
となり、
\begin{align}
&\gamma^j\nabla^E_j(\gamma_k\phi)=\gamma^j(\nabla^S_j(\gamma_k\phi)-\Gamma^i_{jk}\gamma_i\phi)=\gamma^j(\nabla_je_k)\phi+\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi-\gamma^j\Gamma^i_{jk}\gamma_i\phi\\
&=\gamma^j(\nabla_je_k)\phi+\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi-\gamma^j(\nabla_je_k)\phi=\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi
\end{align}
であるから、
\begin{align}
D^E\circ \Pi^{-1}(\phi)=-\frac{1}{n}\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi\otimes\theta^k\cdots(1)
\end{align}
が得られる。よって
\begin{align}
A\phi&=
\Pi\circ D^E\circ \Pi^{-1}(\phi)=-\frac{1}{n}\gamma^k\gamma^j\nabla^E_j(\gamma_k\phi)=-\frac{1}{n}\gamma^k\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi\\
&=\frac{1}{n}\gamma^k\gamma_k\gamma^j\nabla^S_j\phi+\frac{2}{n}\gamma^k\delta^j_k\nabla^S_j\phi=-D\phi+\frac{2}{n}D\phi=\frac{2-n}{n}D\phi
\end{align}
(ii)$B=2P^*$の証明
$ \psi\in\ker\Pi$に対して、
$$
\Pi\circ D^E\circ \Pi^\perp\psi=\gamma^j\gamma^i\nabla^E_i\psi_j=-\gamma^i\gamma^j\nabla^E_i\psi_j-2\eta^{ij}\nabla^E_i\psi_j=-\gamma^i\nabla^S_i\Pi\psi+2P^*\psi=2P^*\psi
$$
となることから従う。ただし３式目の第一項目に補題3を使った。
(iii)$C=\frac{2}{n}P$の証明
(1)より
\begin{align}
&\Pi^\perp\circ D^E\circ \Pi^{-1}(\phi)=-\frac{1}{n}\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi\otimes\theta^k+\frac{1}{n}\gamma_i\gamma^k\left(-\frac{1}{n}\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi\right)\otimes\theta^i\\
&=\left(-\frac{1}{n}\gamma^j\gamma_i\nabla^S_j\phi-\frac{1}{n^2}\gamma_i\gamma^k\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi\right)\otimes\theta^i
\end{align}
であり、
\begin{align}
&-\frac{1}{n}\gamma^j\gamma_i\nabla^S_j\phi-\frac{1}{n^2}\gamma_i\gamma^k\gamma^j\gamma_k\nabla^S_j\phi=\frac{1}{n}\gamma_i\gamma^j\nabla^S_j\phi+\frac{2}{n}\nabla^S_i\phi+\frac{1}{n^2}\gamma_i\gamma^k\gamma_k\gamma^j\nabla^S_j\phi+\frac{2}{n^2}\gamma_i\gamma^k\delta^j_k\nabla^S_j\phi\\
&=\frac{1}{n}\gamma_i\gamma^j\nabla^S_j\phi+\frac{2}{n}\nabla^S_i\phi-\frac{1}{n}\gamma_i\gamma^j\nabla^S_j\phi+\frac{2}{n^2}\gamma_i\gamma^k\nabla^S_k\phi\\
&=\frac{2}{n}\left(\nabla^S_i\phi+\frac{1}{n}\gamma_i\gamma^k\nabla^S_k\phi\right)
\end{align}
であることから従う。
これらのことから$\psi\in\Gamma(E)\cap\ker\Pi\cap\ker P^*$に対して、
$D^E\psi=Q\psi$が成り立つことが分かる。以上の準備の下でRS場を以下のように定義する。
$\psi\in\Gamma(E)\cap\ker\Pi\cap\ker P^*$が
$D^E\psi=Q\psi=0$
を満たすとき、$\psi$を(mathematical)Rarita-Schwinger場という。
physical RS場
物理の文脈ではRS場は以下のように定義されます。
$\psi\in\Gamma(E)$が
$$
\gamma^{ijk}\nabla^E_j\psi_k=0
$$
を満たすとき、(physical)Rarita-Schwinger場という。
なお物理では$\psi_i$をMajoranaかWeylスピノルとすることが普通ですがこの記事内ではその条件は無くてもよいので課しません。またphysical RS場のLagrangianは
$$
\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\langle\psi_i,\gamma^{ijk}\nabla^E_j\psi_k\rangle
$$
で与えられます。ここで$\langle,\rangle$はスピン不変内積です。
$$
\gamma^{ijk}=\gamma^i\gamma^j\gamma^k +\eta^{kj}\gamma^i -\gamma^j\eta^{ik}+\gamma^k\eta^{ij}
$$
となることが簡単に分かるので、
\begin{align}
\gamma^{ijk}\nabla^E_j\psi_k&=(\gamma^i\gamma^j\gamma^k +\eta^{kj}\gamma^i -\gamma^j\eta^{ik}+\gamma^k\eta^{ij})\nabla^E_j\psi_k\\
&=\gamma^i\gamma^j\gamma^k\nabla^E_j\psi_k +\gamma^i(\nabla^E)^j\psi_j -\gamma^j\nabla^E_j\psi^i+\gamma^k(\nabla^E)^i\psi_k
\end{align}
となります。補題3と$P^*,\Pi,D^E$の定義より
\begin{align}
\gamma^{ijk}\nabla^E_j\psi_k=\gamma^i\gamma^j\nabla^S_j\Pi\psi-\gamma^iP^*\psi-D^E\psi^i+(\nabla^S)^i\Pi\psi
\end{align}
となります。
さらにLorentz-likeなゲージとして$P^*\psi=-(\nabla^E)^i\psi_i=0$を取り、拘束条件として、$\Pi\psi=\gamma^i\psi_i=0$を要請することを物理ではよくやります（この処方は次の節で論じる変分法での定式化を考えると妥当なものであることが分かります）。$\psi\in\ker\Pi$かつ$P^*\psi=0$のとき、$D^E\psi=Q\psi$となるので結局
$$
\gamma^{ijk}\nabla^E_j\psi_k=-D^E\psi^i=-Q\psi^i
$$
となります。従って次の命題が得られました。
$\psi\in\Gamma(E)\cap\ker\Pi\cap\ker P^*$がmath RS場であることとphys RS場であることは同値である。
ついでに$Q$の明示的な表示も分かりました。
$Q\psi=-\gamma^{ijk}\nabla^E_j\psi_k\otimes\theta_i$
変分法での定式化
$(M,g)$上で$\psi\in \Gamma(E)$に対して、作用汎関数
\begin{align}
S(\psi)=\int_M Re\langle\psi,D^E\psi\rangle dv
\end{align}
を考えます。この作用汎関数の停留点としてRS場が特徴づけられることを見ます。$\psi$はSpin群の既約表現であると仮定します。すなわち$\Pi\psi=0$という条件です。
$\psi_t=\psi+t\phi$として変分を行います。Dirac作用素の形式的自己随伴性を使うと
\begin{align}
\frac{d}{dt}S(\psi_t)|_{t=0}&=-\frac{1}{2}\int_M\left( Re\langle\phi,D^E\psi\rangle+Re\langle\psi,D^E\phi\rangle\right)dv\\
&=-\frac{1}{2}\int_M\left( Re\langle\phi,D^E\psi\rangle+Re\langle D^E\psi,\phi\rangle\right)dv\\
&=-\int_M Re\langle\phi,D^E\psi\rangle dv\\
\end{align}
となります。よって任意の$\phi$に対して$\psi$が停留点を与えるためには
$$
D^E\psi=0
$$
でなければなりません。
次に、前の節で導いた
$$
D^E\psi^i=Q\psi^i+\gamma^i\gamma^j\nabla^S_j\Pi\psi-\gamma^iP^*\psi+(\nabla^S)^i\Pi\psi
$$
を使い、$\langle X\cdot\psi,\phi\rangle=-\langle \psi,X\cdot\phi\rangle$に注意すると、
\begin{align}
\langle\psi,D^E\psi\rangle&=\langle\psi,Q\psi\rangle+\langle\psi_i,\gamma^i\gamma^j\nabla^S_j\Pi\psi\rangle-\langle\psi_i,\gamma^iP^*\psi\rangle+\langle\psi_i,(\nabla^S)^i\Pi\psi\rangle\\
&=\langle\psi,Q\psi\rangle-\langle\Pi\psi,\gamma^j\nabla^S_j\Pi\psi\rangle+\langle\Pi\psi,P^*\psi\rangle-\langle(\nabla^S)^i\psi_i,\Pi\psi\rangle
+e_i\langle\psi^i,\Pi\psi\rangle\\
&=\langle\psi,Q\psi\rangle-\langle\Pi\psi,D\Pi\psi\rangle+\langle\Pi\psi,P^*\psi\rangle-\langle(\nabla^E)_i\psi^i,\Pi\psi\rangle
+\Gamma^i_{ij}\langle\psi^j,\Pi\psi\rangle\\
&=\langle\psi,Q\psi\rangle-\langle\Pi\psi,D\Pi\psi\rangle+\langle\Pi\psi,P^*\psi\rangle+\langle P^*\psi,\Pi\psi\rangle+{\rm div}X
\end{align}
となります。ここで$X=\langle\psi^i,\Pi\psi\rangle e_i$です。$\Pi\psi=0$なので、
\begin{align}
\int_M Re\langle\psi,D^E\psi\rangle dv=\int_M Re\langle\psi,Q\psi\rangle dv
\end{align}
となります。このとき$P^*\psi$がどのような場であっても作用汎関数の値が変わらないことが分かります。よって$S(\psi)$の停留点を与える$\psi$の集合は$P^*\psi\in\Gamma(S)$の不定性があることになります。そこで$P^*\psi=0$となる停留点の代表を選ぶことにします。
以上のことから$S(\psi)$の停留点を与える場は
$$
D^E\psi=Q\psi=0
$$
を満たすことが分かりました。これはRS場です。