Rarita-Schwinger場の定義について勉強したのでノートを書きます。物理と数学の両方の文脈で述べます。なお私のRS場に対する理解は不完全であり、間違いがあるかもしれません(おおよそは合ってるとは思いますが)。RS場は一言で言ってしまえば、捻じれDirac作用素の固有3/2スピノルのことです。
convention
Clifford積は
登場する場はコンパクト台を持つかまたはベクトル場の発散の積分が消える程度の性質を持つとする
添え字の上げ下げは
と表されます。さらに
となるので、
また、
と定義します。通常のDirac作用素は
スピン幾何の文脈でのRS場の定義を述べる。まず
とする。このとき、ベクトル束としての直和分解
が成り立つ。またPenrose作用素
作用素
をPenrose作用素(またはtwistor作用素)と呼ぶ。
定義から
である。
そしてねじれDirac作用素の
分解
が成り立つ。ここで
証明する前に公式を準備しておきます。
とすると、
で与えられる。
(i)
となり、
であるから、
が得られる。よって
(ii)
となることから従う。ただし3式目の第一項目に補題3を使った。
(iii)
(1)より
であり、
であることから従う。
これらのことから
を満たすとき、
物理の文脈ではRS場は以下のように定義されます。
を満たすとき、(physical)Rarita-Schwinger場という。
なお物理では
で与えられます。ここで
となることが簡単に分かるので、
となります。補題3と
となります。
さらにLorentz-likeなゲージとして
となります。従って次の命題が得られました。
ついでに
を考えます。この作用汎関数の停留点としてRS場が特徴づけられることを見ます。
となります。よって任意の
でなければなりません。
次に、前の節で導いた
より
となりますが、
を満たすことが分かりました。これはRS場です。