正多角形の性質とその初等的な証明

295

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

こんにちは。正多角形の性質について面白い証明を発見したので、それを書きます。内容自体はベクトルで示せるのですが、初等幾何を使った解法を見つけました。既知だったらごめんなさい。

nを正の整数とする。正2n角形と、その内部に点Pをとる。ここで、正2n角形の各頂点と点Pをそれぞれ線分で結び、2n個の領域に分割する。そしてそれらの領域を、（隣り合う領域が同じ色にならないように）白と黒で塗り分ける。このとき、白く塗られた面積の和と黒く塗られた面積の和は等しい。

一見当たり前に見えます。確かにnが2や4など、偶数の場合は簡単に等積変形で示せます。しかしnが奇数の場合にはそうはいきません（正2n角形の、互いに向かい合う領域の色が異なってしまうため）。

もともとの正2n角形をSとする。新たに正2n角形のTをつくる。このとき、Tのすべての辺の中点は、Sのすべての頂点に一致するようにする（図1a）。ここで、Sの外側且つTの内側である領域を、新たに白と黒で塗り分ける（図1b）。新たに塗られる領域の面積は白と黒で等しい。よって、Tの内部で白と黒の面積が等しくなることを示せばよい（図2a）が、これは等積変形より自明である（図2b）。よって示された。左図がa、右図がb。また、図形の内側がSで外側がT。左図がa、右図がb。