notation

$\mathbb{R}$の有限部分集合$S$と$g_{ij}\in \mathbb{R}$に対して、
$$\begin{array}{rl}(S_i{)}_i& :=\underset{i}{max}{S}_i\\ (S)& :=maxS\\ [S_i{]}_i& :=\underset{i}{min}{S}_i\\ [S]& :=minS\\ \{g_{ij}{\}}_j^i& :=([g_{ij}{]}_j{)}_i\end{array}$$
と定める。

絶対値関数$\upharpoonright x\downharpoonleft$を次のように定める。
$$\upharpoonright x\downharpoonleft =(x,-x)=\{\begin{array}{ll}x& x\ge 0\\ -x& x<0\end{array}$$

まず$\mathbb{R}[\mathit{X}]$を実数係数の多項式として
$${\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_0}^s[\mathit{X}]=\mathbb{R}[\mathit{X}]$$
とする。さらに一般の$n\in {\mathbb{N}}^{\times }$に対して
$${\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_{n+1}}^s[\mathit{X}]=\{f\upharpoonright g\downharpoonleft +h:f,g,h\in {\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_n}^s[\mathit{X}]\}$$
として全ての自然数$n$に対して${\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_n}^s[\mathit{X}]$を定義する。この集合の元を速度$n$の絶対値式という。また集合
$${\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}[\mathit{X}]=\{h:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}[h\in {\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_n}^s[\mathit{X}]]\}$$
の元を絶対値式という。

絶対値式$h\in {\mathbb{A}}_{\mathbb{R}}[\mathit{X}]$に対して、$h\in {\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_n}^s[\mathit{X}]$となる最小の$s$を$h$の速さといい、$\mathrm{Speed}h$で表す。また$h\in {\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_n}^d[\mathit{X}]$となる最小の$d$を深さといい$\mathrm{Depth}h$で表し、$h\in {\mathbb{A}}_{{\mathbb{R}}_n}^l[\mathit{X}]$となる最小の$l$を長さといい$\mathrm{Length}h$であらわす。

${\mathbb{R}}^n$の部分集合$S$が半代数集合であるとは、有限個の代数的等式、あるいは不等式の合併であることをいう。

関数$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$が区分連続多項式であるとは、${\mathbb{R}}^n$が有限個の閉半代数集合$\mathcal{P}=\{P_{\lambda }\}$で被覆されており、各$\lambda$においてある多項式$f_{\lambda }$が存在して
$$f{\upharpoonright }_{P_{\lambda }}=f_{\lambda }{\upharpoonright }_{P_{\lambda }}$$
ならしめうることをいう。区分連続多項式全体の集合を${\mathcal{C}}^{\mathcal{p}}({\mathbb{R}}^n)$で表すことにする。

区分連続多項式$p$に対し、任意にとった測度零でない閉集合$S\in {\mathbb{R}}^n$で$p{\upharpoonright }_S=f{\upharpoonright }_S$となる多項式$f\in \mathbb{R}[\mathit{X}]$が存在する。このような多項式すべての集合を$X(p)$と書く。

区分連続多項式$p$に対して、$p$が無限回微分できないような点の集合を$\sigma (p)$で表す。また、${\mathbb{R}}^n\setminus \sigma (p)$の連結成分の個数を$\mathrm{\#}\sigma (p)$で表す。$p$に対し、$\mathrm{\#}\sigma (p)-1$を$p$の粗さという。

Heavysideの階段関数を次のように定義する．
$$H_a^x=\{\begin{array}{ll}0& x<a\\ \frac{1}{2}& x=a\\ 1& x>a\end{array}$$
このとき，多重Heavyside関数を次のように定める．
$$H_{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n}^{b_1,b_2,b_3,\dots ,b_n}=\prod _{k=1}^n{H}_{a_k}^{b_k}$$
ここで添え字$a_{1i},\dots ,a_{ni},b_{1i},\dots ,b_{ni}$が多項式であり，かつ多項式$\mathit{f}=\{f_i{\}}_i$を係数として
$$\begin{array}{r}\sum _i{f}_i{H}_{{\mathit{a}}_i}^{{\mathit{b}}_i}\end{array}$$
と表せる関数を多重$H$値といい，それ全体を$\mathcal{H}\mathcal{(}\mathbb{R})$で表す．また$C^n$級である多重$H$値全体の集まりを${\mathcal{H}}^n(\mathbb{R})$で表すことにする．

$k$変数区分連続多項式を${\mathcal{C}}^p({\mathbb{R}}^k)$と表す。また、代入写像$L$を、
$$L_{\alpha }^{l}f(x_1,x_2,\dots ,x_m)=f(x_1,x_2,\dots ,\stackrel{l}{\alpha },\dots ,x_m)$$
とし、特に$L:=L_0$と略記することにする。

$$\begin{array}{rl}{a}^{+}& =(a,0)\\ a^{-}& =[a,0]\end{array}$$