京大理系数学2018-3

考察

図は各自で書いてみてください．$\text{AB}$が横になるように書くと良いと思います．
四角形が一意的に定まるパラメータを用意する必要がある．
正弦定理より，$\text{AC}=2\sin \alpha$である．内接四角形の性質より，$\mathrm{\angle }\text{ADC}=\pi -\alpha$とわかっている．$\mathrm{\angle }\text{CAD}=\theta$としてパラメータ付けると，三角形$\text{ACD}$が一意に定まる．次に，このパラメータで三角形$\text{ABC}$が定まるかどうかを見る．$\mathrm{\angle }\text{CAB}=\alpha -\theta$と定まるので，OK．よってこのパラメータを使えばよい．明らかに，$0<\theta <\alpha$を動く．

解答

$$k=16\sin \theta {\sin }^2(\alpha -\theta )\sin (2\alpha -\theta )$$
である．
$$\sin \theta \sin (2\alpha -\theta )=-\frac{1}{2}\{\cos 2\alpha -\cos (2\alpha -2\theta )\}$$
$${\sin }^2(\alpha -\theta )=\frac{1}{2}(1-\cos (2\alpha -2\theta ))$$
を用いて変形すると，
$$k=4(\cos (2\alpha -2\theta )-\cos 2\alpha )(1-\cos (2\alpha -2\theta ))$$
となる．$X=\cos (2\alpha -2\theta )$とおくと，
$k=4(-X^2+(\cos 2\alpha +1)X-\cos 2\alpha )$．
$X={\displaystyle \frac{\cos 2\alpha +1}{2}}$のとき最大値$4{\left({\displaystyle \frac{\cos 2\alpha -1}{2}}\right)}^2=4{\sin }^4\alpha$をとる．
問題は$\cos (2\alpha -2\theta )={\displaystyle \frac{\cos 2\alpha +1}{2}}$となる$\theta$が存在するかどうかだが，$\theta =0$のときは左辺は$\cos 2\alpha$，$\theta =\alpha$の時は左辺は1である．ここで，
$$\cos 2\alpha <\frac{\cos 2\alpha +1}{2}<1$$
なので，中間値の定理より，必ず問題となっている$\theta$は存在する．

感想

$k=16\sin \theta {\sin }^2(\alpha -\theta )\sin (2\alpha -\theta )$の評価がちょっと難しいですね．