京大理系数学2018-3
$\alpha$は$0<\alpha\leq\dfrac{\pi}{2}$を満たす定数とし，四角形$\text{ABCD}$に関する次の2条件を考える．
(i) 四角形$\text{ABCD}$は半径$1$の円に内接する．
(ii) $\angle\text{ABC}=\angle{DAB}=\alpha$
条件(i)と(ii)を満たす四角形のなかで，4辺の長さの積
$$k=\text{AB}\cdot\text{BC}\cdot\text{CD}\cdot\text{DA}$$
が最大となるものについて，$k$の値を求めよ．
考察
図は各自で書いてみてください．$\text{AB}$が横になるように書くと良いと思います．
四角形が一意的に定まるパラメータを用意する必要がある．
正弦定理より，$\text{AC}=2\sin \alpha$である．内接四角形の性質より，$\angle\text{ADC}=\pi-\alpha$とわかっている．$\angle\text{CAD}=\theta$としてパラメータ付けると，三角形$\text{ACD}$が一意に定まる．次に，このパラメータで三角形$\text{ABC}$が定まるかどうかを見る．$\angle\text{CAB}=\alpha-\theta$と定まるので，OK．よってこのパラメータを使えばよい．明らかに，$0<\theta<\alpha$を動く．
解答
$$k=16\sin\theta\sin^2(\alpha-\theta)\sin(2\alpha-\theta)$$
である．
$$\sin\theta\sin(2\alpha-\theta)=-\frac{1}{2}\{\cos 2\alpha-\cos(2\alpha-2\theta)\}$$
$$\sin^2(\alpha-\theta)=\frac{1}{2}(1-\cos(2\alpha-2\theta))$$
を用いて変形すると，
$$k=4(\cos(2\alpha-2\theta)-\cos2\alpha)(1-\cos(2\alpha-2\theta))$$
となる．$X=\cos(2\alpha-2\theta)$とおくと，
$k=4(-X^2+(\cos2\alpha+1)X-\cos2\alpha)$．
$X=\dfrac{\cos 2\alpha+1}{2}$のとき最大値$4\left(\dfrac{\cos2\alpha-1}{2}\right)^2=4\sin^4\alpha$をとる．
問題は$\cos(2\alpha-2\theta)=\dfrac{\cos2\alpha+1}{2}$となる$\theta$が存在するかどうかだが，$\theta=0$のときは左辺は$\cos 2\alpha$，$\theta=\alpha$の時は左辺は1である．ここで，
$$\cos2\alpha<\frac{\cos2\alpha+1}{2}<1$$
なので，中間値の定理より，必ず問題となっている$\theta$は存在する．
感想
$k=16\sin\theta\sin^2(\alpha-\theta)\sin(2\alpha-\theta)$の評価がちょっと難しいですね．
