Borel変換とLaguerre多項式

まず, Borel変換は一般に
$$\begin{array}{r}{\mathcal{B}}^{-1}f(x):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(xt)e^{-t}dt\end{array}$$
の逆変換として定まる. これは複素数$w$と単項式$x^w$に対して,
$$\begin{array}{r}\mathcal{B}(x^w)=\frac{x^w}{\mathrm{\Gamma }(w+1)}\end{array}$$
として計算できる. Laguerre多項式は次のように定義される.
$$\begin{array}{rl}{L}_n(x)& =\sum _{k=0}^n\frac{(-n{)}_k}{k{!}^2}{x}^k\end{array}$$
定義から,
$$\begin{array}{rl}\mathcal{B}(1-x{)}^n& =\mathcal{B}\sum _{k=0}^n\frac{(-n{)}_k}{k!}{x}^k\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{(-n{)}_k}{k{!}^2}{x}^k\\ & =L_n(x)\end{array}$$
となり, Laguerre多項式は$(1-x{)}^n$のBorel変換として解釈できる. 具体的な例で考えてみる.

$$\begin{array}{rl}{x}^{-a}& =\sum _{0\le n}\frac{(a{)}_n}{n!}(1-x{)}^n\end{array}$$
の両辺にBorel変換を行うと,
$$\begin{array}{rl}\frac{x^{-a}}{\mathrm{\Gamma }(1-a)}& =\sum _{0\le n}\frac{(a{)}_n}{n!}{L}_n(x)\end{array}$$
が得られる. 2つの式
$$\begin{array}{rl}\frac{x^{-a}}{\mathrm{\Gamma }(1-a)}& =\sum _{0\le n}\frac{(a{)}_n}{n!}{L}_n(x)\\ \frac{x^{-b}}{\mathrm{\Gamma }(1-b)}& =\sum _{0\le n}\frac{(b{)}_n}{n!}{L}_n(x)\end{array}$$
に$e^{-x}$を掛け合わせて$(0,\mathrm{\infty })$で積分すると, 直交性によって
$$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }(1-a-b)}{\mathrm{\Gamma }(1-a)\mathrm{\Gamma }(1-b)}=\sum _{0\le n}\frac{(a,b{)}_n}{n{!}^2}\end{array}$$
が得られる. これはGaussの超幾何定理の特別な場合なので, あまり面白みがないかもしれない. 他の例で考えてみる. ${\beta }_w:=\frac{\mathrm{\Gamma }(w+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(w+1)}$として,第1種完全楕円積分の接続公式
$$\begin{array}{rl}-\frac{1}{\pi }{\frac{d}{dw}\sum _{0\le n}{\beta }_{n+w}^2{x}^{n+w}|}_{w=0}& =\sum _{0\le n}{\beta }_n^2(1-x{)}^n\end{array}$$
にBorel変換を適用すると,
$$\begin{array}{rl}-\frac{1}{\pi }{\frac{d}{dw}\sum _{0\le n}\frac{{\beta }_{n+w}^2}{\mathrm{\Gamma }(n+w+1)}{x}^{n+w}|}_{w=0}& =\sum _{0\le n}{\beta }_n^2{L}_n(x)\end{array}$$
を得る. よって, 両辺を2乗して${\pi }^2{e}^{-x}$を掛けて$(0,\mathrm{\infty })$において積分すると,
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left({\frac{d}{dw}\sum _{0\le n}\frac{{\beta }_{n+w}^2}{\mathrm{\Gamma }(n+w+1)}{x}^{n+w}|}_{w=0}\right)}^2{e}^{-x}dx& ={\pi }^2\sum _{0\le n}{\beta }_n^4\end{array}$$
を得る. この等式を他の手法で示すことは結構難しいかもしれない.