Borel変換とLaguerre多項式

まず, Borel変換は一般に
\begin{align*} \mathcal{B}^{-1}f(x):=\int_0^{\infty}f(xt)e^{-t}\,dt \end{align*}
の逆変換として定まる. これは複素数$w$と単項式$x^w$に対して,
\begin{align*} \mathcal{B}(x^w)=\frac{x^w}{\Gamma(w+1)} \end{align*}
として計算できる. Laguerre多項式は次のように定義される.
\begin{align*} L_n(x)&=\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!^2}x^k \end{align*}
定義から,
\begin{align*} \mathcal{B}(1-x)^n&=\mathcal{B}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!^2}x^k\\ &=L_n(x) \end{align*}
となり, Laguerre多項式は$(1-x)^n$のBorel変換として解釈できる. 具体的な例で考えてみる.

\begin{align*} x^{-a}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}(1-x)^n \end{align*}
の両辺にBorel変換を行うと,
\begin{align*} \frac{x^{-a}}{\Gamma(1-a)}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}L_n(x) \end{align*}
が得られる. 2つの式
\begin{align*} \frac{x^{-a}}{\Gamma(1-a)}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}L_n(x)\\ \frac{x^{-b}}{\Gamma(1-b)}&=\sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{n!}L_n(x) \end{align*}
に$e^{-x}$を掛け合わせて$(0,\infty)$で積分すると, 直交性によって
\begin{align*} \frac{\Gamma(1-a-b)}{\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)}=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!^2} \end{align*}
が得られる. これはGaussの超幾何定理の特別な場合なので, あまり面白みがないかもしれない. 他の例で考えてみる. $\beta_w:=\frac{\Gamma\left(w+\frac 12\right)}{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma(w+1)}$として,第1種完全楕円積分の接続公式
\begin{align*} -\frac 1{\pi}\left.\frac{d}{dw}\sum_{0\leq n}\beta_{n+w}^2x^{n+w}\right|_{w=0}&=\sum_{0\leq n}\beta_n^2(1-x)^n \end{align*}
にBorel変換を適用すると,
\begin{align*} -\frac 1{\pi}\left.\frac{d}{dw}\sum_{0\leq n}\frac{\beta_{n+w}^2}{\Gamma(n+w+1)}x^{n+w}\right|_{w=0}&=\sum_{0\leq n}\beta_n^2L_n(x) \end{align*}
を得る. よって, 両辺を2乗して$\pi^2e^{-x}$を掛けて$(0,\infty)$において積分すると,
\begin{align*} \int_0^{\infty}\left(\left.\frac{d}{dw}\sum_{0\leq n}\frac{\beta_{n+w}^2}{\Gamma(n+w+1)}x^{n+w}\right|_{w=0}\right)^2e^{-x}\,dx&=\pi^2\sum_{0\leq n}\beta_n^4 \end{align*}
を得る. この等式を他の手法で示すことは結構難しいかもしれない.