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現代数学解説
文献あり

米田の補題

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はじめに

この記事は圏の定義から米田の補題まで駆け抜けるものとなっています.圏に初めて触れる人でもおそらく読めるようになっているのではないかと思いますので.是非見ていってください.

圏論の用語

Cとは以下のデータからなる.
(1)対象の集まりOb(C)
(2)対象間の射の集まりたちHomC(X,Y)X,YOb(C)
(3)射の合成:HomC(Y,Z)×HomC(X,Y)HomC(X,Z)
また,これらのデータについて,以下が成り立つ.
(A)HomC(X,X)idX
(B)h(gf)=(hg)f

関手

C,Dを圏とする.F:CDが関手であるとは以下を満たすことである.
(1)任意のCの対象Xに対して,Dの対象F(X)を対応させる.
(2)任意のCの射fHomC(X,Y)に対して,Dの射F(f)HomD(F(X),F(Y))を対応させる.
また,これらの対応について,以下が成り立つ.
(A)F(idX)=idF(X)
(B)F(gf)=F(g)F(f)

自然変換

C,Dを圏,F,G:CDを関手とする.ϑ:FGが自然変換であるとは以下を満たすことである.
(1)任意のCの対象Xに対して,Dの射ϑX:FXGXを対応させる.
また,この対応について,以下が成り立つ.
(A)f:XYについて以下の図式が可換.
FXϑXFfGXGfFYϑYGY

関手圏

C,Dを圏とする.関手圏Fun(C,D)DCとも書く)とは,
(1)対象はCからDへのすべての関手
(2)射の集まりHom(F,G)FからGへのすべての自然変換
(3)射の合成はϑ:FGη:GHについて(ηϑ)X:=ηXϑX
というデータからなるものである.

hom関手

Cをlocally smallな圏(任意のX,YOb(C)に対してHomC(X,Y)が集合である圏)とする.
このとき,HomC(A,):CSetという関手を定義することができる.
この関手は
(1)任意のCの対象Xに対して,Setの対象HomC(A,X)を対応させる.
(2)任意のCの射fHomC(X,Y)に対して,Setの射f:HomC(A,X)HomC(A,Y) を対応させる.
というものである.
HomC(A,)hAと書くこともある.

hom関手

Cをlocally smallな圏とする.
このとき,HomC(,B):CopSetという関手を定義することができる.この関手は
(1)任意のCの対象Xに対して,Setの対象HomC(X,B)を対応させる.
(2)任意のCの射fHomC(X,Y)=HomCop(Y,X)に対して,Setの射f:HomC(Y,B)HomC(X,B) を対応させる.
というものである.
HomC(,B)hBと書くこともある.

米田の補題

米田の補題はCop×SetCopからSetへのとある2つの関手の自然同型を主張するものです.見やすさのために,Nat(F,G):=HomSetCop(F,G)とおきます.

米田の補題

一つ目の関手AA(X,F)=F(X)です.
二つ目の関手BB(X,F)=Nat(hX,F)です.
このとき,ABは自然同型です.

ABが関手の条件を満たすことは各自で確認してください.

Step1
 まず,全単射ηX,F:Nat(hX,F)F(X)を構成します.
ϑ:hXFに対して,ηX,F(ϑ)=ϑX(idX)と置きます.
 次に,逆写像γX,F:F(X)Nat(hX,F)を構成します.
aF(X)に対して,γX,F(a)X:Hom(X,X)F(X)γX,F(a)X(h)=F(h)(a)で定義します.ちなみに,Fは反変関手なので,F(h):F(X)F(X)ですね.
Step2
 γX,F(a)は自然変換であることを示してください.
Step3
 ηX,FγX,Fが互いに逆写像であることを示してください.
Step4
 ηFについて自然であることを見ます.α:FGについて,
Nat(hX,F)ηX,FαFXαXNat(hX,G)ηX,GGX
が可換であればよいです.これはすぐに分かりますね.
Step5
 ηXについて自然であることを見ます.f:YXとします.使うので,自然変換hf=f:Hom(,Y)Hom(,X)を定義しておきます.これが自然変換であることはすぐに分かります.
Nat(hX,F)ηX,FhfFXFfNat(hY,F)ηY,FFY
が可換であればよいですが,頑張れば分かります.
以上で証明が終わりました.

終わりに

米田の補題まで駆け抜けてきたのですが,どうだったでしょうか.米田の補題の証明で詰まってしまったら参考文献を見ると良いかもしれません.それでは,ここまで見ていただきありがとうございました.間違いなどあれば教えてくださいね.

参考文献

[1]
Steve Awodey, Category Theory
投稿日:20241130
更新日:2024123
OptHub AI Competition

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はじめまして!楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

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  2. 圏論の用語
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  4. 終わりに
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