はじめに
この記事は圏の定義から米田の補題まで駆け抜けるものとなっています.圏に初めて触れる人でもおそらく読めるようになっているのではないかと思いますので.是非見ていってください.
圏論の用語
圏
圏とは以下のデータからなる.
(1)対象の集まり
(2)対象間の射の集まりたち()
(3)射の合成
また,これらのデータについて,以下が成り立つ.
(A)
(B)
関手
を圏とする.が関手であるとは以下を満たすことである.
(1)任意のの対象に対して,の対象を対応させる.
(2)任意のの射に対して,の射を対応させる.
また,これらの対応について,以下が成り立つ.
(A)
(B)
自然変換
を圏,を関手とする.が自然変換であるとは以下を満たすことである.
(1)任意のの対象に対して,の射を対応させる.
また,この対応について,以下が成り立つ.
(A)について以下の図式が可換.
関手圏
を圏とする.関手圏(とも書く)とは,
(1)対象はからへのすべての関手
(2)射の集まりはからへのすべての自然変換
(3)射の合成は,について
というデータからなるものである.
hom関手
をlocally smallな圏(任意のに対してが集合である圏)とする.
このとき,という関手を定義することができる.
この関手は
(1)任意のの対象に対して,の対象を対応させる.
(2)任意のの射に対して,の射 を対応させる.
というものである.
をと書くこともある.
hom関手
をlocally smallな圏とする.
このとき,という関手を定義することができる.この関手は
(1)任意のの対象に対して,の対象を対応させる.
(2)任意のの射に対して,の射 を対応させる.
というものである.
をと書くこともある.
米田の補題
米田の補題はからへのとあるつの関手の自然同型を主張するものです.見やすさのために,とおきます.
米田の補題
一つ目の関手はです.
二つ目の関手はです.
このとき,とは自然同型です.
やが関手の条件を満たすことは各自で確認してください.
.
まず,全単射を構成します.
に対して,と置きます.
次に,逆写像を構成します.
に対して,をで定義します.ちなみに,は反変関手なので,ですね.
.
は自然変換であることを示してください.
.
とが互いに逆写像であることを示してください.
.
がについて自然であることを見ます.について,
が可換であればよいです.これはすぐに分かりますね.
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がについて自然であることを見ます.とします.使うので,自然変換を定義しておきます.これが自然変換であることはすぐに分かります.
が可換であればよいですが,頑張れば分かります.
以上で証明が終わりました.
終わりに
米田の補題まで駆け抜けてきたのですが,どうだったでしょうか.米田の補題の証明で詰まってしまったら参考文献を見ると良いかもしれません.それでは,ここまで見ていただきありがとうございました.間違いなどあれば教えてくださいね.