米田の補題
はじめに
この記事は圏の定義から米田の補題まで駆け抜けるものとなっています．圏に初めて触れる人でもおそらく読めるようになっているのではないかと思いますので．是非見ていってください．
圏論の用語
圏$\mathcal{C}$とは以下のデータからなる．
(1)対象の集まり$\text{Ob}(\mathcal{C})$
(2)対象間の射の集まりたち$\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)$（$X,Y\in\text{Ob}(\mathcal{C})$）
(3)射の合成$-\circ-:\text{Hom}_\mathcal{C}(Y,Z)\times\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)\rightarrow\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Z)$
また，これらのデータについて，以下が成り立つ．
(A)$\text{Hom}_\mathcal{C}(X,X)\ni id_X$
(B)$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏とする．$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$が関手であるとは以下を満たすことである．
(1)任意の$\mathcal{C}$の対象$X$に対して，$\mathcal{D}$の対象$F(X)$を対応させる．
(2)任意の$\mathcal{C}$の射$f\in\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)$に対して，$\mathcal{D}$の射$F(f)\in\text{Hom}_\mathcal{D}(F(X),F(Y))$を対応させる．
また，これらの対応について，以下が成り立つ．
(A)$F(id_X)=id_{F(X)}$
(B)$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏，$F,G:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$を関手とする．$\vartheta:F\Rightarrow G$が自然変換であるとは以下を満たすことである．
(1)任意の$\mathcal{C}$の対象$X$に対して，$\mathcal{D}$の射$\vartheta_X:FX\rightarrow GX$を対応させる．
また，この対応について，以下が成り立つ．
(A)$f:X\rightarrow Y$について以下の図式が可換．
$$
\xymatrix{
FX \ar[r]^{\vartheta_X} \ar[d]_{Ff}& GX \ar[d]^{Gf}\\
FY \ar[r]_{\vartheta_Y} & GY
}
$$
$\mathcal{C},\mathcal{D}$を圏とする．関手圏$\text{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$（$\mathcal{D}^\mathcal{C}$とも書く）とは，
(1)対象は$\mathcal{C}$から$\mathcal{D}$へのすべての関手
(2)射の集まり$\text{Hom}(F,G)$は$F$から$G$へのすべての自然変換
(3)射の合成は$\vartheta:F\Rightarrow G$，$\eta:G\Rightarrow H$について$(\eta\circ\vartheta)_X\coloneqq\eta_X\circ\vartheta_X$
というデータからなるものである．
$\mathcal{C}$をlocally smallな圏（任意の$X,Y\in\text{Ob}(\mathcal{C})$に対して$\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)$が集合である圏）とする．
このとき，$\text{Hom}_\mathcal{C}(A,-):\mathcal{C}\rightarrow\text{Set}$という関手を定義することができる．
この関手は
(1)任意の$\mathcal{C}$の対象$X$に対して，$\text{Set}$の対象$\text{Hom}_\mathcal{C}(A,X)$を対応させる．
(2)任意の$\mathcal{C}$の射$f\in\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)$に対して，$\text{Set}$の射$f\circ-:\text{Hom}_\mathcal{C}(A,X)\rightarrow \text{Hom}_\mathcal{C}(A,Y)$ を対応させる．
というものである．
$\text{Hom}_\mathcal{C}(A,-) $を$h^A$と書くこともある．
$\mathcal{C}$をlocally smallな圏とする．
このとき，$\text{Hom}_\mathcal{C}(-,B):\mathcal{C}^{\text{op}}\rightarrow\text{Set}$という関手を定義することができる．この関手は
(1)任意の$\mathcal{C}$の対象$X$に対して，$\text{Set}$の対象$\text{Hom}_\mathcal{C}(X,B)$を対応させる．
(2)任意の$\mathcal{C}$の射$f\in\text{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)=\text{Hom}_\mathcal{C^{\text{op}}}(Y,X)$に対して，$\text{Set}$の射$-\circ f:\text{Hom}_\mathcal{C}(Y,B)\rightarrow \text{Hom}_\mathcal{C}(X,B)$ を対応させる．
というものである．
$\text{Hom}_\mathcal{C}(-,B)$を$h_B$と書くこともある．
米田の補題
米田の補題は$\mathcal{C}^{\text{op}}\times\text{Set}^{\mathcal{C}^{\text{op}}}$から$\text{Set}$へのとある$2$つの関手の自然同型を主張するものです．見やすさのために，$\text{Nat}(F,G)\coloneqq\text{Hom}_{\text{Set}^{\mathcal{C}^\text{op}}}(F,G)$とおきます．
一つ目の関手$A$は$A(X,F)=F(X)$です．
二つ目の関手$B$は$B(X,F)=\text{Nat}(h_X,F)$です．
このとき，$A$と$B$は自然同型です．
$A$や$B$が関手の条件を満たすことは各自で確認してください．
$Step1$．
まず，全単射$\eta_{X,F}:\text{Nat}(h_X,F)\rightarrow F(X)$を構成します．
$\vartheta:h_X\Rightarrow F$に対して，$\eta_{X,F}(\vartheta)=\vartheta_X(id_X)$と置きます．
次に，逆写像$\gamma_{X,F}:F(X)\rightarrow\text{Nat}(h_X,F)$を構成します．
$a\in F(X)$に対して，$\gamma_{X,F}(a)_{X'}:\text{Hom}(X',X)\rightarrow F(X')$を$\gamma_{X,F}(a)_{X'}(h)=F(h)(a)$で定義します．ちなみに，$F$は反変関手なので，$F(h):F(X)\rightarrow F(X')$ですね．
$Step2$．
$\gamma_{X,F}(a)$は自然変換であることを示してください．
$Step3$．
$\eta_{X,F}$と$\gamma_{X,F}$が互いに逆写像であることを示してください．
$Step4$．
$\eta$が$F$について自然であることを見ます．$\alpha:F\Rightarrow G$について，
$$
\xymatrix{
\text{Nat}(h_X,F) \ar[r]^-{\eta_{X,F}} \ar[d]_{\alpha\circ -}& FX \ar[d]^{\alpha_X}\\
\text{Nat}(h_X,G) \ar[r]_-{\eta_{X,G}} & GX
}
$$
が可換であればよいです．これはすぐに分かりますね．
$Step5$．
$\eta$が$X$について自然であることを見ます．$f:Y\rightarrow X$とします．使うので，自然変換$hf=f\circ-:\text{Hom}(-,Y)\Rightarrow \text{Hom}(-,X)$を定義しておきます．これが自然変換であることはすぐに分かります．
$$
\xymatrix{
\text{Nat}(h_X,F) \ar[r]^-{\eta_{X,F}} \ar[d]_{-\circ hf}& FX \ar[d]^{Ff}\\
\text{Nat}(h_Y,F) \ar[r]_-{\eta_{Y,F}} & FY
}
$$
が可換であればよいですが，頑張れば分かります．
以上で証明が終わりました．
終わりに
米田の補題まで駆け抜けてきたのですが，どうだったでしょうか．米田の補題の証明で詰まってしまったら参考文献を見ると良いかもしれません．それでは，ここまで見ていただきありがとうございました．間違いなどあれば教えてくださいね．
