5問セット

$\boxed{\text{1}}$
以下の問いに答えよ。

$(1)$全ての対象式は基本対象式で表せることを数学的帰納法で示せ。
$(2)$$n$個の複素数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$を解とするような最高次の係数が$1$である整数係数$n$次多項式$f_n(x)$が存在する時、任意の正整数$i$に対して${\displaystyle S_i=\sum _{k=1}^n{a}_k^i}$が整数となることを示せ。
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$\boxed{\text{2}}$
$t$を$0$でない実数とする。以下の問いに答えよ。この問題にのみ必要であれば答えに$lim$と$\sum$と$n!$を用いて良い。

$(1)$定積分${\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{e^{tx}}dx}$を用いて$e^x$をxの多項式として表せ。
$(2)$$(1)$の結果を利用して${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{\sin x}dx}$の値を求めよ。ただし$(1)$を解答に利用していない場合点数を与えない。
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$\boxed{\text{3}}$
以下の問いに答えよ。

$(1)$半径$1$の円に内接する正$2024$角形の$2024$個の頂点の座標を$A_1,A_2,\cdots ,A_{2024}$とし、$A_1$と$A_k(k=2,3,\cdots ,2024)$の距離を$B_k$とした時$S_{2024}=B_2\times B_3\times \cdots \times B_{2024}$の値を求めよ。

$(2)$半径$1$の円に内接する正$n$角形の対角線の長さの総積を$L(n)$とする。次の極限値$A$を求めよ。また、必要であれば${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$を証明なしに用いても良い。

$A={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\log \{\frac{1}{\sqrt{n^{3n}}}L(n)\}}$
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$\boxed{\text{4}}$
以下の$n$変数方程式$(\ast )$の解の組$\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$が無限に存在することを示せ。
ただし$n$を$4$以上の整数とする。

変数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$の総積を$x_1{x}_2\cdots x_n=S$とした時
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{x}_k^2=\sum _{k=1}^n\frac{S}{x_k}\cdots (\ast )}$
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$\boxed{\text{5}}$
$p$を奇素数,$a$を$a\equiv 2(modp)$を満たす整数,$n$を整数とする時次の式$(★)$を満たす最小の$a$を$p$を用いて表せ。
${\displaystyle p{a}^{p-1}-\sum _{k=1}^p(k\cdot {}_p{\mathrm{C}}_k)=n{p}^p\cdots (★)}$