Heineの変換公式の証明

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$q$ 超幾何級数における基本的な公式であるHeineの変換公式を示す.

Heineの変換公式

$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(b, a x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / b, x \\ a x \end{array}; b] \\ = \frac{(c / b, b x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a b x / c, b \\ b x \end{array}; \frac{c}{b}] \\ = \frac{(a b x / c; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a, c / b \\ c \end{array}; \frac{a b x}{c}] \end{aligned}$

$q$ 二項定理より,
$\begin{aligned} \frac{(b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} & = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \frac{(c q^{n}; q)_{\infty}}{(b q^{n}; q)_{\infty}} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(c / b; q)_{k}}{(q; q)_{k}} b^{k} q^{n k} \end{aligned}$
であるから, 1つ目の式は
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} \frac{(b; q)_{n}}{(c; q)_{n}} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} \sum_{0 \leq k} \frac{(c / b; q)_{k}}{(q; q)_{k}} b^{k} q^{n k} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(c / b; q)_{k}}{(q; q)_{k}} b^{k} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} q^{n k} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(c / b; q)_{k}}{(q; q)_{k}} b^{k} \frac{(a x q^{k}; q)_{\infty}}{(x q^{k}; q)_{\infty}} \\ = \frac{(b, a x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / b, x \\ a x \end{array}; b] \end{aligned}$
となって示される. 2つ目の式, 3つ目の式は1つ目の式を繰り返し用いることによって,
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(b, a x, q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / b, x \\ a x \end{array}; b] \\ = \frac{(b, a x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}} \frac{(c / b, b x; q)_{\infty}}{(b, a x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a b x / c, b \\ b x \end{array}; \frac{c}{b}] \\ = \frac{(c / b, b x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a b x / c, b \\ b x \end{array}; \frac{c}{b}] \\ = \frac{(c / b, b x; q)_{\infty}}{(c, x; q)_{\infty}} \frac{(c, a b x / c; q)_{\infty}}{(c / b, b x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a, c / b \\ c \end{array}; \frac{a b x}{c}] \\ = \frac{(a b x / c; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a, c / b \\ c \end{array}; \frac{a b x}{c}] \end{aligned}$
のように得ることができる.

特別な場合として, 次のHeineの和公式を得ることができる.

$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; \frac{c}{a b}] & = \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$

Heineの変換公式の1つ目の式に $x = \frac{c}{a b}$ とすると, $q$ 二項定理によって以下のように示される.
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; \frac{c}{a b}] & = \frac{(b, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / b, c / a b \\ c / b \end{array}; b] \\ = \frac{(b, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a b \\ - \end{array}; b] \\ = \frac{(b, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b)_{\infty}} \frac{(c / a; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty}} \\ = \frac{(c / a, c / b; q)_{\infty}}{(c, c / a b; q)_{\infty}} \end{aligned}$