Heineの変換公式の証明

$q$二項定理より,
\begin{align} \frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\frac{(cq^n;q)_{\infty}}{(bq^n;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c/b;q)_k}{(q;q)_k}b^kq^{nk} \end{align}
であるから, 1つ目の式は
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}x^n\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(c/b;q)_k}{(q;q)_k}b^kq^{nk}\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c/b;q)_k}{(q;q)_k}b^k\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}x^nq^{nk}\\ &=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c/b;q)_k}{(q;q)_k}b^k\frac{(axq^k;q)_{\infty}}{(xq^k;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}{b} \end{align}
となって示される. 2つ目の式, 3つ目の式は1つ目の式を繰り返し用いることによって,
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(b,ax,q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/b,x}{ax}{b}\\ &=\frac{(b,ax;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\frac{(c/b,bx;q)_{\infty}}{(b,ax;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,b}{bx}{\frac cb}\\ &=\frac{(c/b,bx;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,b}{bx}{\frac cb}\\ &=\frac{(c/b,bx;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\frac{(c,abx/c;q)_{\infty}}{(c/b,bx;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c}\\ &=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c} \end{align}
のように得ることができる.

Heineの変換公式の1つ目の式に$x=\frac c{ab}$とすると, $q$二項定理によって以下のように示される.
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{\frac{c}{ab}}&=\frac{(b,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab)_{\infty}}\Q21{c/b,c/ab}{c/b}{b}\\ &=\frac{(b,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab)_{\infty}}\Q21{c/ab}{-}{b}\\ &=\frac{(b,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab)_{\infty}}\frac{(c/a;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}} \end{align}