コラッツ予想を肯定する証明（第四報）

コラッツ予想を肯定する証明（第四報）

初めに：　この記事は【【コラッツ予想を肯定する証明（第三報）】までの計算の間違いを正したものである。

1 コラッツ演算による一般式定義

コラッツ演算を次のように定義する。
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_m^o:= \frac{a_{m}^e}{2^{n_m}}\cdots\cdots\cdots (a_{m}^eが定義されているとき)n_m : =max \lbrace n_m:\frac{a_{m}^e} {2^{n_m}} \in N \rbrace \\ {a_{m+1}^e:= 3a_{m}^o+1 \cdots (a_m^e \gt 1)} \end{array} \right. \end{eqnarray} $$

　つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで$n_m $回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は $n_1$、以下$n_2,n_3, \cdots$ などとする。
　この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数$n_m$を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の偶数自然数を$a_1^e$とし、次の奇数自然数をを$a_1^o$とする。Collatz演算 m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、$a_m^o$ と$a_m^e$になります。
　初めに与えられた自然数が偶数の場合

$$a_1^o= \frac{a_1^e}{2^{n_1}} $$

　ここで ${n_1}$ は変数で ${n_1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、

$a_2^e= 3a_1^o+1$

結果として、

$$a_2^e= \frac{3}{2^{n_1}}a_1^e+1 $$

その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、

 $a_{m}^e=(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})/k_{m-1}$       （１）

　但し、
    $k_m=2^{ \sum_{i=1}^{m}n_i} $
とする。 

２　循環数列の有無

２－１$a_2^e$と$a_1^e$の関係

　$a_2^e$と$a_1^e$の関係は、

$$ a_2^e = \frac{3}{k_1}a_1^e + 1 $$

で有るので、$a_2^e=a_1^e$とすると、

$$ a_1^e = \frac{3}{k_1}a_1^e + 1 \Rightarrow \frac{(k_1-3)}{k_1}a_1^e = 1 $$

$$ a_1^e = \frac{k_1}{(k_1-3)} $$

で有るが、$k_1 \lt 3$で有れば右辺は負数に成るので、$a_2^e=a_1^e$とする仮定は背理し$a_2^e \neq a_1^e$で有る。右辺が整除出来なければ$a_2^e=a_1^e$とする仮定は背理し$a_2^e \neq a_1^e$で有る。事実、$k_1=4$で整除出来るが、$k_1 \geq 8$では、

$$ a_{1}^e= \frac{k_1}{(k_1-3)}=2n $$

とすると、

$ k_1=2n(k_1-3) \Rightarrow 3 \times 2n=(2n-1)k_1 $

$$ \frac{3 \times 2n}{(2n-1)} =k_1 \geq 8 \Rightarrow 3 \times 2n \geq 8(2n-1) \Rightarrow 3 \times 2n \geq 16n-8 $$

$$ 8\geq 16n-3 \times 2n=10n \Rightarrow \frac{8}{10} = 0.8 \geq n $$

で有るので、$0.8\geq n$で有るが、$n \in \mathbb{N} $ で無ければならないので、整除出来ず$a_{2}^e = a_{1}^e $とする仮定は背理し$a_{2}^e \neq a_{1}^e $で有る。

　$k_1 = 4$の場合、$a_1^e = 4$では奇数演算が始まる前に１に収束するので、$a_2^e$を計算できない。依って、、

$$ a_1^e = \frac{k_1}{(k_1-3)} \geq 6 \Rightarrow k_1 \geq 6(k_1-3) \Rightarrow 18 \geq 5k_1 \Rightarrow \frac{18}{5} =3.6 \geq k_1 $$

で有るが、$k_1$は割り算の回数で有るので、正数で無ければ成らない。依って、$k_1 \leq 2$で有るので、$k_1 \gt 3$に背理し$a_2^e=a_1^e$とする仮定は背理し$a_2^e \neq a_1^e$で有る。依って、$k_1 \leq 2 \Rightarrow a_2^e \neq a_1^e$で有る。

２－２　$a_3^e$と$a_1^e$の関係と$a_2^e$と$a_1^e$の関係

$a_3^eとa_1^e$の関係は、

$$a_3^e = \frac{3^2a_1^e+3k_1+k_2}{k_2} $$

で有るので、$ a_3^e = a_1^e $とすると、

$$ a_1^e = \frac{3^2a_1^e+3k_1+k_2}{k_2} \Rightarrow ( \frac{k_2-3^2}{k_2} )a_1^e = \frac{3k_1+k_2}{k_2} $$

$$ a_1^e = \frac{3k_1+k_2}{k_2-3^2} $$

で有る。$k_2 \lt 3^2$で有れば右辺は負数に成るので、$a_3^e=a_1^e$とする仮定は背理し$a_3^e \neq a_1^e$で有る。$k_2 \gt 3^2$の場合、整除出来なければ$a_3^e = a_1^e $で有る仮定は背理し、$a_3^e \neq a_1^e$で有る。整除出来ると仮定すると、

$$ a_3^e = \frac{3k_1+k_2}{k_2-3^2} \in \mathbb{N} $$

で有る。

$a_2^e$と$a_1^e$の関係は、

$$ a_2^e= \frac{3}{k_1}a_1^e+1 $$

で有るので、$a_2^e=a_1^e$とすると、

$$ a_1^e = \frac{k_1}{k_1-3} $$

$k_1 \lt 3$で有れば右辺は負数に成るので、$a_2^e=a_1^e$とする仮定は背理し$a_2^e \neq a_1^e$で有る。$k_1 \gt 3$の場合、整除出来なければ$a_2^e = a_1^e $で有る仮定は背理し、$a_2^e \neq a_1^e$で有る。整除出来たと仮定すると、

$a_2^e$と$a_3^e$とは同じ$a_1^e$で計算しているので、

$$ \frac{k_1}{k_1-3} = \frac{3k_1+k_2}{k_2-3^2} $$

で有る。依って、

$ k_1(k_2-3^2) = (3k_1+k_2)(k_1-3) $

$ k_1k_2-3^2k_1 = 3k_1k_1-3k_1+k_2k_1-3k_2 $

$ -3^2k_1 = 3k_1k_1-3k_1-3k_2 \Rightarrow -3k_1 = (k_1-1)k_1-k_2 $

$ (3+(k_1-1))k_1 = k_2 $

$k_2 \geq 2k_1$で有るから、

$ (3+(k_1-1))k_1 \geq 2k_1 \Rightarrow (3+(k_1-1)) \geq 2 $

$ (k_1-1) \geq -1 \Rightarrow k_1 \geq 0 $

で有るので、$k_1 \gt 3$の場合と仮定しているので、$k_1 \geq 4$で有るから、肯定される。依って、$a_3^e = a_1^e \Rightarrow a_2^e = a_1^e$と成るので、その対偶、$ \overline{ a_2^e = a_1^e} \Rightarrow \overline{a_3^e = a_1^e} $も正しい。依って、$ a_2^e \neq a_1^e \Rightarrow a_3^e \neq a_1^e $と成る。

２－３　$a_m^e$と$a_1^e$の関係と$a_{m-1}^e$と$a_{1}^e$の関係

$a_{m}^e = a_1^e$とすると、

$(k_{m-1}-3^{m-1})a_{1}^e=(3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})$

$(k_{m-1}-3^{m-1})a_{1}^e=3(3^{m-3}k_1+3^{m-4}k_2+ \cdots+3k_{m-2})+k_{m-1}$

$$ a_{1}^e= \frac{3(3^{m-3}k_1+3^{m-4}k_2+ \cdots+3k_{m-2})+k_{m-1}}{(k_{m-1}-3^{m-1})} $$

で有る。$k_{m-1} \lt 3^{m-1}$で有れば右辺は負数に成るので、$a_m^e=a_1^e$とする仮定は背理し$a_m^e \neq a_1^e$で有る。$k_{m-1} \gt 3^{m-1}$の場合、右辺が整除出来なければ$a_{m}^e = a_1^e$とする仮定は背理し$a_{m}^e \neq a_1^e$で有る

$ f(m,k_m)=(3^{m-3}k_1+3^{m-4}k_2+ \cdots+3^1k_{m-3}+k_{m-2}) $

としして、

$$ a_{1}^e = \frac{3f(m,k_m)+k_{m-1}}{(k_{m-1}-3^{m-1})} $$

が整除出来たとすると、

$$ a_{1}^e = \frac{3f(m,k_m)+k_{m-1}}{(k_{m-1}-3^{m-1})} \Rightarrow (k_{m-1}-3^{m-1})a_{1}^e = 3f(m,k_m)+k_{m-1} $$

で有るから、整除出来たとするば、$a_{m-1}^e = a_1^e$と仮定すると、

$(k_{m-2}-3^{m-2})a_{1}^e = (3^{m-3}k_1+3^{m-4}k_2+ \cdots+3^1k_{m-3}+k_{m-2})$

で有り、

$$a_{1}^e = \frac{f(m,k_m)}{(k_{m-2}-3^{m-2})} $$

　であるから、$k_{m-2} \lt 3^{m-2}$で有れば右辺は負数に成るので、$a_{m-1}^e=a_1^e$とする仮定は背理し$a_{m-1}^e \neq a_{1}^e$で有る。$k_{m-2} \gt 3^{m-2}$の場合、右辺が整除出来なければ$a_{m-1}^e = a_1^e$とする仮定は背理し$a_{m-1}^e \neq a_1^e$で有る。右辺が整除出来た場合、$a_{m}^e = a_1^e $の計算と同じ$a_1^e$を使用しているはずであるから、

$$ \frac{3f(m,k_m)+k_{m-1}}{(k_{m-1}-3^{m-1})} = \frac{f(m,k_m)}{(k_{m-2}-3^{m-2})}$$

とすると、

$$ (3f(m,k_m)+k_{m-1})(k_{m-2}-3^{m-2}) = f(m,k_m)(k_{m-1}-3^{m-1})$$

$$ (3f(m,k_m)k_{m-2}+k_{m-1}k_{m-2})-(3f(m,k_m)+k_{m-1})3^{m-2}$$
$$ = f(m,k_m)k_{m-1}-3^{m-1}f(m,k_m)$$

$$ 3f(m,k_m)k_{m-2}+(k_{m-1}k_{m-2})-(3f(m,k_m)+k_{m-1})3^{m-2}$$
$$ = f(m,k_m)k_{m-1}-3^{m-1}f(m,k_m)$$

$$ 3f(m,k_m)(k_{m-2}-3^{m-2})+k_{m-1}k_{m-2}-(k_{m-1}3^{m-2})$$
$$ = f(m,k_m)k_{m-1}-3^{m-1}f(m,k_m)$$

$$ 3f(m,k_m)(k_{m-2}-3^{m-2})+k_{m-1}(k_{m-2}-3^{m-2})$$
$$ = f(m,k_m)k_{m-1}-3^{m-1}f(m,k_m)$$

$$ f(m,k_m)(3(k_{m-2}-3^{m-2}))+k_{m-1}(k_{m-2}-3^{m-2})$$
$$ = f(m,k_m)k_{m-1}-3^{m-1}f(m,k_m)$$

$$ f(m,k_m)(3(k_{m-2}-3^{m-2}))+k_{m-1}(k_{m-2}-3^{m-2})$$
$$ = f(m,k_m)(k_{m-1}-3^{m-1})$$

$$ f(m,k_m)(3(k_{m-2}-3^{m-2})-k_{m-1}+3^{m-1})+k_{m-1}(k_{m-2}-3^{m-2}) = 0$$

$$ f(m,k_m)(3(k_{m-2}-3^{m-2})-k_{m-1}+3^{m-1}) = -k_{m-1}(k_{m-2}-3^{m-2})$$

$k_{m-2}-3^{m-2} \gt 0 $かつ$k_{m-1}-3^{m-1} \gt 0 $で有るから、右辺は負数に成るので左辺も負数に成るので、

$(3(k_{m-2}-3^{m-2})-k_{m-1}+3^{m-1}) \lt 0 \Rightarrow (3(k_{m-2}-3^{m-2})) \lt k_{m-1}-3^{m-1} $

$(3(k_{m-2}-3^{m-2})) \lt k_{m-1}-3^{m-1} \Rightarrow (3k_{m-2}) \lt k_{m-1}-3^{m-1}+3^{m-1} $

$ 3k_{m-2} \lt k_{m-1} $

　で有るが$k_{m-1} \gt 3^{m-1} $かつ$k_{m-2} \gt 3^{m-2} $で有るので、

$ 3^{m-1} \lt 3k_{m-2} \lt k_{m-1} $で有るので、仮定は肯定され、依って、$ a_{m}^e = a_1^e \Rightarrow a_{m-1}^e = a_1^e$で有るから、その対偶も正しいので、

$ \overline{a_{m-1}^e = a_1^e} \Rightarrow \overline{a_{m}^e = a_1^e} $で有るから、$ a_{m-1}^e \neq a_1^e \Rightarrow a_{m}^e \neq a_1^e $で有る。

２－４　循環数列の結果

　２－１節の結果$a_2^e \neq a_1^e$。
　２－２節の結果$ a_2^e \neq a_1^e　\Rightarrow a_3^e \neq a_1^e$。
　２－３節の結果$ a_{m-1}^e \neq a_1^e\Rightarrow a_m^e \neq a_1^e$。
で有るので、数学的帰納法に依りコラッツ演算では循環数列は発生しないので、全ての条件で$ a_{m-1}^e \neq a_1^e $で有るから、同じ自然数は２度は出現しない。

３　１への収束

３－１　上下振動の理解

$$ a_m^e = \frac{3}{2^{n_{m-1}}} a_{m-1}^e + 1 $$

　両辺から$ a_{m-1}^e $を引くと、

$$ a_m^e - a_{m-1}^e = (\frac{3}{2^{n_{m-1}}}-1) a_{m-1}^e + 1 \Rightarrow a_m^e - a_{m-1}^e = (\frac{3-2^{n_{m-1}}}{2^{n_{m-1}}}) a_{m-1}^e + 1 $$

$ 2^{n_{m-1}} = 2$なら右辺は正数に成るので増大する。

　$ 2^{n_{m-1}} \geq 4$なら、

$$ a_m^e - a_{m-1}^e - 1 = (\frac{3-2^{n_{m-1}}}{2^{n_{m-1}}}) a_{m-1}^e $$

$$ 2^{n_{m-1}}a_m^e - 2^{n_{m-1}}a_{m-1}^e - 2^{n_{m-1}} = 3a_{m-1}^e-2^{n_{m-1}}a_{m-1}^e $$

$$ 2^{n_{m-1}}a_m^e - 2^{n_{m-1}} = 3a_{m-1}^e \Rightarrow 2^{n_{m-1}}(a_m^e-1) = 3a_{m-1}^e $$

$$ \frac{3a_{m-1}^e}{(a_m^e-1)} \geq 4 \Rightarrow 3a_{m-1}^e \geq 4(a_m^e-1) \Rightarrow 3a_{m-1}^e - 4a_m^e \geq 1$$

$ 3a_{m-1}^e \gt 4a_m^e +1 $で有るから、減少する。

$ k_1 = 2 $で増大し、$ k_1 \geq 4$なら減少する。

３ー２ フェルマーの小定理による証明（2段階の場合）

　３ー１節で述べたように、減少と増大を繰り返しているが、減少する場合は、$a_m^e=2^n$になる事は無いので、増大する場合を検討する。

　$a_m^e$と$a_{m-1}^e$の関係は、

$$a_m^e= \frac{3}{2^{n_{m-1}}}a_{m-1}^e + 1 \Rightarrow 3\frac{a_{m-1}^e}{2^{n_{m-1}}} + 1 $$

で有るので、

$$　\frac{a_{m-1}^e}{2^{n_{m-1}}} = 2i-1 $$

は奇数であるから、

$a_m^e= 3(2i-1) + 1 \Rightarrow a_m^e= 6i - 2$

$2i-1$が素数で無いとすると、$p \geq 5$の奇数によって、フェルマーの小定理により、

$ a_m^e= 6i - 2 ≡ 1(modp)$で有るから、$ a_m^e ≡ 1(modp)$と成るので、$ a_m^e ≡ 2^{p-1}$とすると、$ 2^{p-1} ≡ 1(modp)$と成り、フェルマーの小定理其の物であるから$a_{m-1}^e$の値に関わらず$ a_m^e = 2^{p-1}$の解を持つ。

$2i-1$が素数で$2i-1=q$とすると、$a_m^e= 3q + 1 $と成るので、$p \gt q$の素数を用意すれば、前記同様に、$a_m^e= 3q + 1 ≡ 1(modp) $で有るので、$a_m^e= 1(modp) $となり、$a_{m-1}$の値に関わらず$ a_m^e = 2^{p-1}$の解を持つ。

３ー３ フェルマーの小定理による証明（一般式の場合）

　一般式から

　$k_{m-1}a_{m}^e=(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})$

$a_1^e$が素数の倍数で無いとき、フェルマーの小定理から素数$p \geq 5$で$(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})≡1(modp)$とすると、左辺は$k_{m-1}a_{m}^e≡1(modp)$であるので、$ k_{m-1}a_{m}^e=2^{p-1}$とすると、

$$ a_{m}^e= \frac{2^{p-1}}{k_{m-1}} $$

で有るから、$k_{m-1}=2^l $とすると、$ a_{m}^e= 2^{p-1-l} $と成り、必ず１個は$a_{m}^e=2^r $と成る。

　$a_1^e$が素数の倍数のとき、$a_1^e=2nq $と成るので、$p \gt q$の素数を用意すると、右辺は、

$(3^{m-1}a_1^e+3^{m-2}k_1+3^{m-3}k_2+ \cdots+3^1k_{m-2}+k_{m-1})≡1(modp)$

で有るので、左辺も$k_{m-1}a_{m}^e≡1(modp) $で有るから、$k_{m-1}a_{m}^e= 2^{p-1} $とすると、

$$ a_{m}^e= \frac{2^{p-1}}{k_{m-1}} $$

で有るから、$k_{m-1}=2^l $とすると、$ a_{m}^e= 2^{p-1-l} $と成り、必ず１個は$a_{m}^e=2^r $と成る。

　依って、次の偶数のコラッツ演算で$a_{m}^e$は１に収束する解が有る。

４　結論

　第1章で一般式を定義し、第2章で循環数列の無い事を証明し、第三章でコラッツ演算が$a_m^e = 2^n$と成り、次のコラッツの偶数演算で１に収束する事を証明し、コラッツ予想を肯定した。

　参考文献
1)玉川英文：コラッツ予想のある周辺問題、数学セミナー、P46、2024,3