コラッツ予想を肯定する証明(第四報)
初めに: この記事は【【コラッツ予想を肯定する証明(第三報)】までの計算の間違いを正したものである。
1 コラッツ演算による一般式定義
コラッツ演算を次のように定義する。
つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで回実行されます。このように定義すると、奇数 と偶数 に分けることができる。 ただし、偶数演算の初回は 、以下 などとする。
この定義に基づいて、奇数演算の回数 と偶数演算の回数を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の偶数自然数をとし、次の奇数自然数ををとする。Collatz演算 m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、 とになります。
初めに与えられた自然数が偶数の場合
ここで は変数で で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、
結果として、
その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、
(1)
但し、
とする。
2 循環数列の有無
2-1との関係
との関係は、
で有るので、とすると、
で有るが、で有れば右辺は負数に成るので、とする仮定は背理しで有る。右辺が整除出来なければとする仮定は背理しで有る。事実、で整除出来るが、では、
とすると、
で有るので、で有るが、 で無ければならないので、整除出来ずとする仮定は背理しで有る。
の場合、では奇数演算が始まる前に1に収束するので、を計算できない。依って、、
で有るが、は割り算の回数で有るので、正数で無ければ成らない。依って、で有るので、に背理しとする仮定は背理しで有る。依って、で有る。
2-2 との関係ととの関係
の関係は、
で有るので、とすると、
で有る。で有れば右辺は負数に成るので、とする仮定は背理しで有る。の場合、整除出来なければで有る仮定は背理し、で有る。整除出来ると仮定すると、
で有る。
との関係は、
で有るので、とすると、
で有れば右辺は負数に成るので、とする仮定は背理しで有る。の場合、整除出来なければで有る仮定は背理し、で有る。整除出来たと仮定すると、
ととは同じで計算しているので、
で有る。依って、
で有るから、
で有るので、の場合と仮定しているので、で有るから、肯定される。依って、と成るので、その対偶、も正しい。依って、と成る。
2-3 との関係ととの関係
とすると、
で有る。で有れば右辺は負数に成るので、とする仮定は背理しで有る。の場合、右辺が整除出来なければとする仮定は背理しで有る
としして、
が整除出来たとすると、
で有るから、整除出来たとするば、と仮定すると、
で有り、
であるから、で有れば右辺は負数に成るので、とする仮定は背理しで有る。の場合、右辺が整除出来なければとする仮定は背理しで有る。右辺が整除出来た場合、の計算と同じを使用しているはずであるから、
とすると、
かつで有るから、右辺は負数に成るので左辺も負数に成るので、
で有るがかつで有るので、
で有るので、仮定は肯定され、依って、で有るから、その対偶も正しいので、
で有るから、で有る。
2-4 循環数列の結果
2-1節の結果。
2-2節の結果。
2-3節の結果。
で有るので、数学的帰納法に依りコラッツ演算では循環数列は発生しないので、全ての条件でで有るから、同じ自然数は2度は出現しない。
3 1への収束
3-1 上下振動の理解
両辺からを引くと、
なら右辺は正数に成るので増大する。
なら、
で有るから、減少する。
で増大し、なら減少する。
3ー2 フェルマーの小定理による証明(2段階の場合)
3ー1節で述べたように、減少と増大を繰り返しているが、減少する場合は、になる事は無いので、増大する場合を検討する。
との関係は、
で有るので、
は奇数であるから、
が素数で無いとすると、の奇数によって、フェルマーの小定理により、
で有るから、と成るので、とすると、と成り、フェルマーの小定理其の物であるからの値に関わらずの解を持つ。
が素数でとすると、と成るので、の素数を用意すれば、前記同様に、で有るので、となり、の値に関わらずの解を持つ。
3ー3 フェルマーの小定理による証明(一般式の場合)
一般式から
が素数の倍数で無いとき、フェルマーの小定理から素数でとすると、左辺はであるので、とすると、
で有るから、とすると、と成り、必ず1個はと成る。
が素数の倍数のとき、と成るので、の素数を用意すると、右辺は、
で有るので、左辺もで有るから、とすると、
で有るから、とすると、と成り、必ず1個はと成る。
依って、次の偶数のコラッツ演算では1に収束する解が有る。
4 結論
第1章で一般式を定義し、第2章で循環数列の無い事を証明し、第三章でコラッツ演算がと成り、次のコラッツの偶数演算で1に収束する事を証明し、コラッツ予想を肯定した。
参考文献
1)玉川英文:コラッツ予想のある周辺問題、数学セミナー、P46、2024,3