コラッツ予想を肯定する証明（第四報）

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コラッツ予想を肯定する証明（第四報）

初めに：　この記事は【【コラッツ予想を肯定する証明（第三報）】までの計算の間違いを正したものである。

1 コラッツ演算による一般式定義

コラッツ演算を次のように定義する。
$\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{m}^{o} := \frac{a_{m}^{e}}{2^{n_{m}}} \dots \dots \dots (a_{m}^{e} が定義されているとき) n_{m} := m a x {n_{m} : \frac{a_{m}^{e}}{2^{n_{m}}} \in N} \\ a_{m + 1}^{e} := 3 a_{m}^{o} + 1 \dots (a_{m}^{e} > 1) \end{cases} \end{array}$

　つまり、偶数演算が要求された場合、偶数演算は、一度要求されたら奇数になるまで $n_{m}$ 回実行されます。このように定義すると、奇数と偶数に分けることができる。ただし、偶数演算の初回は $n_{1}$ 、以下 $n_{2}, n_{3}, \dots$ などとする。
　この定義に基づいて、奇数演算の回数 $m$ と偶数演算の回数 $n_{m}$ を変数とし一般式を定義する。与えられた最初の偶数自然数を $a_{1}^{e}$ とし、次の奇数自然数をを $a_{1}^{o}$ とする。Collatz演算 m 回で指定された奇数演算を繰り返した結果は、 $a_{m}^{o}$ と $a_{m}^{e}$ になります。
　初めに与えられた自然数が偶数の場合

$a_{1}^{o} = \frac{a_{1}^{e}}{2^{n_{1}}}$

　ここで $n_{1}$ は変数で $n_{1} \geq 1$ で、奇数になるまで 2 で偶数演算されます。次に奇数演算が行われ、

$a_{2}^{e} = 3 a_{1}^{o} + 1$

結果として、

$a_{2}^{e} = \frac{3}{2^{n_{1}}} a_{1}^{e} + 1$

その後、コラッツ演算が繰り返えされ、一般項は、

$a_{m}^{e} = (3^{m - 1} a_{1}^{e} + 3^{m - 2} k_{1} + 3^{m - 3} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1}) / k_{m - 1}$ （１）

　但し、
$k_{m} = 2^{\sum_{i = 1}^{m} n_{i}}$
とする。

２　循環数列の有無

２－１ $a_{2}^{e}$ と $a_{1}^{e}$ の関係

　 $a_{2}^{e}$ と $a_{1}^{e}$ の関係は、

$a_{2}^{e} = \frac{3}{k_{1}} a_{1}^{e} + 1$

で有るので、 $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とすると、

$a_{1}^{e} = \frac{3}{k_{1}} a_{1}^{e} + 1 \Rightarrow \frac{(k_{1} - 3)}{k_{1}} a_{1}^{e} = 1$

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)}$

で有るが、 $k_{1} < 3$ で有れば右辺は負数に成るので、 $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。右辺が整除出来なければ $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。事実、 $k_{1} = 4$ で整除出来るが、 $k_{1} \geq 8$ では、

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)} = 2 n$

とすると、

$k_{1} = 2 n (k_{1} - 3) \Rightarrow 3 \times 2 n = (2 n - 1) k_{1}$

$\frac{3 \times 2 n}{(2 n - 1)} = k_{1} \geq 8 \Rightarrow 3 \times 2 n \geq 8 (2 n - 1) \Rightarrow 3 \times 2 n \geq 16 n - 8$

$8 \geq 16 n - 3 \times 2 n = 10 n \Rightarrow \frac{8}{10} = 0.8 \geq n$

で有るので、 $0.8 \geq n$ で有るが、 $n \in N$ で無ければならないので、整除出来ず $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。

　 $k_{1} = 4$ の場合、 $a_{1}^{e} = 4$ では奇数演算が始まる前に１に収束するので、 $a_{2}^{e}$ を計算できない。依って、、

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{(k_{1} - 3)} \geq 6 \Rightarrow k_{1} \geq 6 (k_{1} - 3) \Rightarrow 18 \geq 5 k_{1} \Rightarrow \frac{18}{5} = 3.6 \geq k_{1}$

で有るが、 $k_{1}$ は割り算の回数で有るので、正数で無ければ成らない。依って、 $k_{1} \leq 2$ で有るので、 $k_{1} > 3$ に背理し $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。依って、 $k_{1} \leq 2 \Rightarrow a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。

２－２　 $a_{3}^{e}$ と $a_{1}^{e}$ の関係と $a_{2}^{e}$ と $a_{1}^{e}$ の関係

$a_{3}^{e} と a_{1}^{e}$ の関係は、

$a_{3}^{e} = \frac{3^{2} a_{1}^{e} + 3 k_{1} + k_{2}}{k_{2}}$

で有るので、 $a_{3}^{e} = a_{1}^{e}$ とすると、

$a_{1}^{e} = \frac{3^{2} a_{1}^{e} + 3 k_{1} + k_{2}}{k_{2}} \Rightarrow (\frac{k_{2} - 3^{2}}{k_{2}}) a_{1}^{e} = \frac{3 k_{1} + k_{2}}{k_{2}}$

$a_{1}^{e} = \frac{3 k_{1} + k_{2}}{k_{2} - 3^{2}}$

で有る。 $k_{2} < 3^{2}$ で有れば右辺は負数に成るので、 $a_{3}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{3}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。 $k_{2} > 3^{2}$ の場合、整除出来なければ $a_{3}^{e} = a_{1}^{e}$ で有る仮定は背理し、 $a_{3}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。整除出来ると仮定すると、

$a_{3}^{e} = \frac{3 k_{1} + k_{2}}{k_{2} - 3^{2}} \in N$

で有る。

$a_{2}^{e}$ と $a_{1}^{e}$ の関係は、

$a_{2}^{e} = \frac{3}{k_{1}} a_{1}^{e} + 1$

で有るので、 $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とすると、

$a_{1}^{e} = \frac{k_{1}}{k_{1} - 3}$

$k_{1} < 3$ で有れば右辺は負数に成るので、 $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。 $k_{1} > 3$ の場合、整除出来なければ $a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ で有る仮定は背理し、 $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。整除出来たと仮定すると、

$a_{2}^{e}$ と $a_{3}^{e}$ とは同じ $a_{1}^{e}$ で計算しているので、

$\frac{k_{1}}{k_{1} - 3} = \frac{3 k_{1} + k_{2}}{k_{2} - 3^{2}}$

で有る。依って、

$k_{1} (k_{2} - 3^{2}) = (3 k_{1} + k_{2}) (k_{1} - 3)$

$k_{1} k_{2} - 3^{2} k_{1} = 3 k_{1} k_{1} - 3 k_{1} + k_{2} k_{1} - 3 k_{2}$

$- 3^{2} k_{1} = 3 k_{1} k_{1} - 3 k_{1} - 3 k_{2} \Rightarrow - 3 k_{1} = (k_{1} - 1) k_{1} - k_{2}$

$(3 + (k_{1} - 1)) k_{1} = k_{2}$

$k_{2} \geq 2 k_{1}$ で有るから、

$(3 + (k_{1} - 1)) k_{1} \geq 2 k_{1} \Rightarrow (3 + (k_{1} - 1)) \geq 2$

$(k_{1} - 1) \geq - 1 \Rightarrow k_{1} \geq 0$

で有るので、 $k_{1} > 3$ の場合と仮定しているので、 $k_{1} \geq 4$ で有るから、肯定される。依って、 $a_{3}^{e} = a_{1}^{e} \Rightarrow a_{2}^{e} = a_{1}^{e}$ と成るので、その対偶、 $\overset{―}{a_{2}^{e} = a_{1}^{e}} \Rightarrow \overset{―}{a_{3}^{e} = a_{1}^{e}}$ も正しい。依って、 $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e} \Rightarrow a_{3}^{e} \neq a_{1}^{e}$ と成る。

２－３　 $a_{m}^{e}$ と $a_{1}^{e}$ の関係と $a_{m - 1}^{e}$ と $a_{1}^{e}$ の関係

$a_{m}^{e} = a_{1}^{e}$ とすると、

$(k_{m - 1} - 3^{m - 1}) a_{1}^{e} = (3^{m - 2} k_{1} + 3^{m - 3} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1})$

$(k_{m - 1} - 3^{m - 1}) a_{1}^{e} = 3 (3^{m - 3} k_{1} + 3^{m - 4} k_{2} + \dots + 3 k_{m - 2}) + k_{m - 1}$

$a_{1}^{e} = \frac{3 (3^{m - 3} k_{1} + 3^{m - 4} k_{2} + \dots + 3 k_{m - 2}) + k_{m - 1}}{(k_{m - 1} - 3^{m - 1})}$

で有る。 $k_{m - 1} < 3^{m - 1}$ で有れば右辺は負数に成るので、 $a_{m}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{m}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。 $k_{m - 1} > 3^{m - 1}$ の場合、右辺が整除出来なければ $a_{m}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{m}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る

$f (m, k_{m}) = (3^{m - 3} k_{1} + 3^{m - 4} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 3} + k_{m - 2})$

としして、

$a_{1}^{e} = \frac{3 f (m, k_{m}) + k_{m - 1}}{(k_{m - 1} - 3^{m - 1})}$

が整除出来たとすると、

$a_{1}^{e} = \frac{3 f (m, k_{m}) + k_{m - 1}}{(k_{m - 1} - 3^{m - 1})} \Rightarrow (k_{m - 1} - 3^{m - 1}) a_{1}^{e} = 3 f (m, k_{m}) + k_{m - 1}$

で有るから、整除出来たとするば、 $a_{m - 1}^{e} = a_{1}^{e}$ と仮定すると、

$(k_{m - 2} - 3^{m - 2}) a_{1}^{e} = (3^{m - 3} k_{1} + 3^{m - 4} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 3} + k_{m - 2})$

で有り、

$a_{1}^{e} = \frac{f (m, k_{m})}{(k_{m - 2} - 3^{m - 2})}$

　であるから、 $k_{m - 2} < 3^{m - 2}$ で有れば右辺は負数に成るので、 $a_{m - 1}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。 $k_{m - 2} > 3^{m - 2}$ の場合、右辺が整除出来なければ $a_{m - 1}^{e} = a_{1}^{e}$ とする仮定は背理し $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。右辺が整除出来た場合、 $a_{m}^{e} = a_{1}^{e}$ の計算と同じ $a_{1}^{e}$ を使用しているはずであるから、

$\frac{3 f (m, k_{m}) + k_{m - 1}}{(k_{m - 1} - 3^{m - 1})} = \frac{f (m, k_{m})}{(k_{m - 2} - 3^{m - 2})}$

とすると、

$(3 f (m, k_{m}) + k_{m - 1}) (k_{m - 2} - 3^{m - 2}) = f (m, k_{m}) (k_{m - 1} - 3^{m - 1})$

$(3 f (m, k_{m}) k_{m - 2} + k_{m - 1} k_{m - 2}) - (3 f (m, k_{m}) + k_{m - 1}) 3^{m - 2}$
$= f (m, k_{m}) k_{m - 1} - 3^{m - 1} f (m, k_{m})$

$3 f (m, k_{m}) k_{m - 2} + (k_{m - 1} k_{m - 2}) - (3 f (m, k_{m}) + k_{m - 1}) 3^{m - 2}$
$= f (m, k_{m}) k_{m - 1} - 3^{m - 1} f (m, k_{m})$

$3 f (m, k_{m}) (k_{m - 2} - 3^{m - 2}) + k_{m - 1} k_{m - 2} - (k_{m - 1} 3^{m - 2})$
$= f (m, k_{m}) k_{m - 1} - 3^{m - 1} f (m, k_{m})$

$3 f (m, k_{m}) (k_{m - 2} - 3^{m - 2}) + k_{m - 1} (k_{m - 2} - 3^{m - 2})$
$= f (m, k_{m}) k_{m - 1} - 3^{m - 1} f (m, k_{m})$

$f (m, k_{m}) (3 (k_{m - 2} - 3^{m - 2})) + k_{m - 1} (k_{m - 2} - 3^{m - 2})$
$= f (m, k_{m}) k_{m - 1} - 3^{m - 1} f (m, k_{m})$

$f (m, k_{m}) (3 (k_{m - 2} - 3^{m - 2})) + k_{m - 1} (k_{m - 2} - 3^{m - 2})$
$= f (m, k_{m}) (k_{m - 1} - 3^{m - 1})$

$f (m, k_{m}) (3 (k_{m - 2} - 3^{m - 2}) - k_{m - 1} + 3^{m - 1}) + k_{m - 1} (k_{m - 2} - 3^{m - 2}) = 0$

$f (m, k_{m}) (3 (k_{m - 2} - 3^{m - 2}) - k_{m - 1} + 3^{m - 1}) = - k_{m - 1} (k_{m - 2} - 3^{m - 2})$

$k_{m - 2} - 3^{m - 2} > 0$ かつ $k_{m - 1} - 3^{m - 1} > 0$ で有るから、右辺は負数に成るので左辺も負数に成るので、

$(3 (k_{m - 2} - 3^{m - 2}) - k_{m - 1} + 3^{m - 1}) < 0 \Rightarrow (3 (k_{m - 2} - 3^{m - 2})) < k_{m - 1} - 3^{m - 1}$

$(3 (k_{m - 2} - 3^{m - 2})) < k_{m - 1} - 3^{m - 1} \Rightarrow (3 k_{m - 2}) < k_{m - 1} - 3^{m - 1} + 3^{m - 1}$

$3 k_{m - 2} < k_{m - 1}$

　で有るが $k_{m - 1} > 3^{m - 1}$ かつ $k_{m - 2} > 3^{m - 2}$ で有るので、

$3^{m - 1} < 3 k_{m - 2} < k_{m - 1}$ で有るので、仮定は肯定され、依って、 $a_{m}^{e} = a_{1}^{e} \Rightarrow a_{m - 1}^{e} = a_{1}^{e}$ で有るから、その対偶も正しいので、

$\overset{―}{a_{m - 1}^{e} = a_{1}^{e}} \Rightarrow \overset{―}{a_{m}^{e} = a_{1}^{e}}$ で有るから、 $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e} \Rightarrow a_{m}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有る。

２－４　循環数列の結果

　２－１節の結果 $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e}$ 。
　２－２節の結果 $a_{2}^{e} \neq a_{1}^{e} \Rightarrow a_{3}^{e} \neq a_{1}^{e}$ 。
　２－３節の結果 $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e} \Rightarrow a_{m}^{e} \neq a_{1}^{e}$ 。
で有るので、数学的帰納法に依りコラッツ演算では循環数列は発生しないので、全ての条件で $a_{m - 1}^{e} \neq a_{1}^{e}$ で有るから、同じ自然数は２度は出現しない。

３　１への収束

３－１　上下振動の理解

$a_{m}^{e} = \frac{3}{2^{n_{m - 1}}} a_{m - 1}^{e} + 1$

　両辺から $a_{m - 1}^{e}$ を引くと、

$a_{m}^{e} - a_{m - 1}^{e} = (\frac{3}{2^{n_{m - 1}}} - 1) a_{m - 1}^{e} + 1 \Rightarrow a_{m}^{e} - a_{m - 1}^{e} = (\frac{3 - 2^{n_{m - 1}}}{2^{n_{m - 1}}}) a_{m - 1}^{e} + 1$

$2^{n_{m - 1}} = 2$ なら右辺は正数に成るので増大する。

　 $2^{n_{m - 1}} \geq 4$ なら、

$a_{m}^{e} - a_{m - 1}^{e} - 1 = (\frac{3 - 2^{n_{m - 1}}}{2^{n_{m - 1}}}) a_{m - 1}^{e}$

$2^{n_{m - 1}} a_{m}^{e} - 2^{n_{m - 1}} a_{m - 1}^{e} - 2^{n_{m - 1}} = 3 a_{m - 1}^{e} - 2^{n_{m - 1}} a_{m - 1}^{e}$

$2^{n_{m - 1}} a_{m}^{e} - 2^{n_{m - 1}} = 3 a_{m - 1}^{e} \Rightarrow 2^{n_{m - 1}} (a_{m}^{e} - 1) = 3 a_{m - 1}^{e}$

$\frac{3 a_{m - 1}^{e}}{(a_{m}^{e} - 1)} \geq 4 \Rightarrow 3 a_{m - 1}^{e} \geq 4 (a_{m}^{e} - 1) \Rightarrow 3 a_{m - 1}^{e} - 4 a_{m}^{e} \geq 1$

$3 a_{m - 1}^{e} > 4 a_{m}^{e} + 1$ で有るから、減少する。

$k_{1} = 2$ で増大し、 $k_{1} \geq 4$ なら減少する。

３ー２フェルマーの小定理による証明（2段階の場合）

　３ー１節で述べたように、減少と増大を繰り返しているが、減少する場合は、 $a_{m}^{e} = 2^{n}$ になる事は無いので、増大する場合を検討する。

　 $a_{m}^{e}$ と $a_{m - 1}^{e}$ の関係は、

$a_{m}^{e} = \frac{3}{2^{n_{m - 1}}} a_{m - 1}^{e} + 1 \Rightarrow 3 \frac{a_{m - 1}^{e}}{2^{n_{m - 1}}} + 1$

で有るので、

$\frac{a_{m - 1}^{e}}{2^{n_{m - 1}}} = 2 i - 1$

は奇数であるから、

$a_{m}^{e} = 3 (2 i - 1) + 1 \Rightarrow a_{m}^{e} = 6 i - 2$

$2 i - 1$ が素数で無いとすると、 $p \geq 5$ の奇数によって、フェルマーの小定理により、

$a_{m}^{e} = 6 i - 2 \equiv 1 (m o d p)$ で有るから、 $a_{m}^{e} \equiv 1 (m o d p)$ と成るので、 $a_{m}^{e} \equiv 2^{p - 1}$ とすると、 $2^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)$ と成り、フェルマーの小定理其の物であるから $a_{m - 1}^{e}$ の値に関わらず $a_{m}^{e} = 2^{p - 1}$ の解を持つ。

$2 i - 1$ が素数で $2 i - 1 = q$ とすると、 $a_{m}^{e} = 3 q + 1$ と成るので、 $p > q$ の素数を用意すれば、前記同様に、 $a_{m}^{e} = 3 q + 1 \equiv 1 (m o d p)$ で有るので、 $a_{m}^{e} = 1 (m o d p)$ となり、 $a_{m - 1}$ の値に関わらず $a_{m}^{e} = 2^{p - 1}$ の解を持つ。

３ー３フェルマーの小定理による証明（一般式の場合）

　一般式から

　 $k_{m - 1} a_{m}^{e} = (3^{m - 1} a_{1}^{e} + 3^{m - 2} k_{1} + 3^{m - 3} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1})$

$a_{1}^{e}$ が素数の倍数で無いとき、フェルマーの小定理から素数 $p \geq 5$ で $(3^{m - 1} a_{1}^{e} + 3^{m - 2} k_{1} + 3^{m - 3} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1}) \equiv 1 (m o d p)$ とすると、左辺は $k_{m - 1} a_{m}^{e} \equiv 1 (m o d p)$ であるので、 $k_{m - 1} a_{m}^{e} = 2^{p - 1}$ とすると、

$a_{m}^{e} = \frac{2^{p - 1}}{k_{m - 1}}$

で有るから、 $k_{m - 1} = 2^{l}$ とすると、 $a_{m}^{e} = 2^{p - 1 - l}$ と成り、必ず１個は $a_{m}^{e} = 2^{r}$ と成る。

　 $a_{1}^{e}$ が素数の倍数のとき、 $a_{1}^{e} = 2 n q$ と成るので、 $p > q$ の素数を用意すると、右辺は、

$(3^{m - 1} a_{1}^{e} + 3^{m - 2} k_{1} + 3^{m - 3} k_{2} + \dots + 3^{1} k_{m - 2} + k_{m - 1}) \equiv 1 (m o d p)$

で有るので、左辺も $k_{m - 1} a_{m}^{e} \equiv 1 (m o d p)$ で有るから、 $k_{m - 1} a_{m}^{e} = 2^{p - 1}$ とすると、

$a_{m}^{e} = \frac{2^{p - 1}}{k_{m - 1}}$

で有るから、 $k_{m - 1} = 2^{l}$ とすると、 $a_{m}^{e} = 2^{p - 1 - l}$ と成り、必ず１個は $a_{m}^{e} = 2^{r}$ と成る。

　依って、次の偶数のコラッツ演算で $a_{m}^{e}$ は１に収束する解が有る。

４　結論

　第1章で一般式を定義し、第2章で循環数列の無い事を証明し、第三章でコラッツ演算が $a_{m}^{e} = 2^{n}$ と成り、次のコラッツの偶数演算で１に収束する事を証明し、コラッツ予想を肯定した。

　参考文献
1)玉川英文：コラッツ予想のある周辺問題、数学セミナー、P46、2024,3

投稿日：1月21日

更新日：2月6日

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コラッツ予想を肯定する証明（第四報）

コラッツ予想を肯定する証明（第四報）
1 コラッツ演算による一般式定義
２　循環数列の有無
３　１への収束
４　結論

コラッツ予想を肯定する証明（第四報）