薄い圏の考察(7).　関手の薄化。

以下の圏と関手が定義されているとする。
局所小圏 $\mathcal{C}$ および $\mathcal{D}$、
薄い圏 $C_A =C(A, f)$ および $C_B = C(B, g)$、
関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、
薄い圏への関手 $T_1: \mathcal{C} \to C_A$ および $T_2: \mathcal{D} \to C_B.$
このとき$T=(T_1,T_2)$として、
関手 $T(F): T_1(\mathcal{C}) \to T_2(\mathcal{D})$ を、以下で定める。
対象の対応:$\mathcal{C}$での任意の対象$i$に対して$$T(F)(T_1(i)) := T_2(F(i)).$$
射の対応:$\mathcal{C}$での任意の射 $p:i \to j$に対して
$$T(F)(f_{T_1(i)T_1(j)}):= g_{T_2(F(i))T_2(F(j))}.$$
$T(F)$ が関手となることは、「薄い圏の考察３」における命題１により保証される。また、$T(F)$は対象の写像として全射なので本質的に全射な関手となり、各行先を見ると
$T(F)\circ T_1 = T_2\circ F$
を満たす。
$$ \begin{CD} \mathcal{C} @>F>> \mathcal{D} \\ @V{T_1}VV @VV{T_2}V \\ T_1(\mathcal{C}) @>{T(F)}>> T_2(\mathcal{D}) \end{CD} $$
また$T_1(\mathcal{C})$が薄い圏であることから$T(F)$は（薄い圏の考察(3)の命題3の1より）忠実関手となる。

以下、（この論考の中でしか通じない用語だが）$T(F)$を$T$によって$F$を薄くした関手とよぶ。
　$T(F)$は忠実かつ本質的に全射な関手なので、$T(F)$が充満関手であることと$T(F)$が圏同値であることは同値。

例。
局所小圏 $\mathcal{C}$ と $\mathcal{D}$の間に定まる
関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$に対して
『薄い圏の考察(4)』で定義した括射関手
$P_\mathcal{C}: \mathcal{C} \to P(\mathcal{C})$ および $P_\mathcal{D}: \mathcal{D} \to P(\mathcal{D})$によって
$P=(P_\mathcal{C},P_\mathcal{D})$ と置くと
$P$によって$ F$を薄くした関手$P(F):P(\mathcal{C})\to P(\mathcal{D})$は
$P(F)(i)=F(i),$
$P(F)(hom_\mathcal{C}(i,j))=hom_\mathcal{D}(F(i),F(j)) $を満たす。($i,j\in Ob(\mathcal{C}).$)

特に$\mathcal{D}$が薄い圏のとき「薄い圏の考察(4)」の命題（括射関手 Pの普遍性）より、薄化関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ に対し、以下を満たす一意な関手 $\tilde{F}: P(\mathcal{C}) \to \mathcal{D}$ が存在します。
$$F = \tilde{F} \circ \ P_C.$$
このとき各関手の定義域と余域をみると
$P (F) = \tilde{F} \circ \ P_D$　が成立しています。　
これらの関係を図にすると、以下のようになります。
$$ \begin{xy} \xymatrix { \mathcal{C} \ar[r]^F \ar[d]_{P_\mathcal{C}} & \mathcal{D} \ar[d]^{P_\mathcal{D}} \\ P(\mathcal{C}) \ar[r]_{P(F)} \ar[ur]^{\tilde{F}} & P(\mathcal{D}) } \end{xy} $$

$P(\mathcal{C})$は強連結な圏なので「薄い圏の考察(３)」の補題１より$P(F)$は（$F$の取りかたに関わらず常に）圏同値となります。

$T(F)$の一般的な性質を以下述べます。

命題。$F$が圏同値ならば、$T(F)$は圏同値。
（証明）仮定より$F$は充満関手。よって任意の$i,j\in Ob(\mathcal{C})$に対して$\mathcal{C}$での射$p:i\to j$が存在して$\mathcal{D}$での射$F(i)\to F(j) $を$F(p)$と表せる。
このとき任意の$i,j\in Ob(\mathcal{C})$に対して$g_{T_2(F(i))T_2(F(j))}=T_2(F(p))=(T_2\circ F)(p)=(T(F)\circ T_1)(p)=T(F)(T_1(p))$と表わせるので、$T(F)$は充満関手。よって圏同値となる。（証明終）

命題。Fが（左）随伴関手ならば、T(F)も（左）随伴関手。
（証明）関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が $G: \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ の左随伴関手であるとすると、任意の対象 $i \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ に対して、次の2条件を満たすペア $(F(i), \eta_i)$ が存在する。
1.$\eta_i: i \to G(F(i))$ は $\mathcal{C}$ における射である。
2.任意の対象 $k \in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ と、任意の射 $p: i \to G(k)$ に対して、$\mathcal{D}$ における射 $q: F(i) \to k$ がただ一つ存在して、$p = G(q) \circ \eta_i$ を満たす。
以下、$T'=(T_2,T_1)$と置いたとき$T(F): T_1(\mathcal{C}) \to T_2(\mathcal{D})$ が
$T'(G): T_2(\mathcal{D}) \to T_1(\mathcal{C})$ の左随伴となることを示す。
1.
$T_1(\mathcal{C})$での任意の対象 $T_1(i)$ に対し
$$\bar{\eta}_{T_1(i)} := T_1(\eta_i) : T_1(i) \to T_1(G(F(i)))$$によって　$\bar{\eta}_{T_1(i)}$　を定める。
ここで $T_1(G(F(i))) = T'(G)(T_2(F(i))) = T'(G)(T(F)(T_1(i)))$ より
$\bar{\eta}_{T_1(i)}$ は $T_1(\mathcal{C})$ における射 $T_1(i) \to T'(G)(T(F)(T_1(i)))$ となる。
2.
$T_2(\mathcal{D})$ における任意の対象 $T_2(k)$と、任意の射 $\bar{p}: T_1(i) \to T'(G)(T_2(k))$ を考える。
$T_2(\mathcal{D})$ において、射 $\bar{q}: T(F)(T_1(i)) \to T_2(k)$ が一意に存在することを以下示す。
存在性:
仮定より$\mathcal{D}$ において $q: F(i) \to k$ が存在する。これを $T_2$ で送った$T_2(\mathcal{D})$での射$g_{T_2(F(i)), T_2(k)}$ を $\bar{q}$ とする。
可換性:
$T_1(\mathcal{C})$ において、射の合成 $\bar{p}$ と $T'(G)(\bar{q}) \circ \bar{\eta}_{T_1(i)}$ を比較する。
薄い圏における射の一意性より、始点（定義域）と終点（余域）が一致する射は等しい。
両者の始点は $T_1(i)$、終点は $T'(G)(T_2(k))$ で一致するため、
$$\bar{p} = T'(G)(\bar{q}) \circ \bar{\eta}_{T_1(i)}$$
が成立する。
3. 一意性:
$\bar{q}$ の一意性は、$T_2(\mathcal{D})$ が薄い圏であることから直ちに従う。
以上より、誘導関手のペア $(T(F), T'(G))$ は随伴関係 $T(F) \dashv T'(G)$ を満たす。
（証明終）

次に局所小圏 $\mathcal{C}$ および $\mathcal{D}$、
薄い圏 $C_A =C(A, f)$ および $C_B = C(B, g)$、
関手 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$と$F': \mathcal{C} \to \mathcal{D}$
を任意に固定します。
$T=(T_1,T_2)$として、
FとF'を薄くしたふたつの関手T(F)とT’(F)があるとします。
このとき以下が成り立ちます。

命題。FとF'が（自然）同型な関手ならば、$ T(F)$と$ T(F')$は（自然）同型な関手となる。
（証明）FとF'が（自然）同型な関手だとすると
$\mathcal{C}$での任意の対象$i$に対して
$\alpha _i : F(i) \to F'(i)$とその逆射$\alpha' _i : F'(i) \to F(i)$
がとれて、$\mathcal{C}$での任意の射$f:i \to j$に対して
$\alpha _j \circ F(f)=F'(f) \circ \alpha _i $が成立。
ここで
$T(\alpha _i) : T_2(F(i)) \to T_2(F'(i))$ とすると
$T(\alpha' _i) : T_2(F'(i)) \to T_2(F(i))$ はその逆射であり、$T_2$の関手性より共に存在。また
$T(\alpha _j) \circ T(F(f))=T(F'(f)) \circ T(\alpha _i) $が成立。
これは、$ T(F)$と$ T(F')$が（自然）同型な関手であることを示している。（証明終）