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米田埋め込みは単位的プロ函手

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米田埋め込み

米田埋め込みを
Δ(a)C:=HomC(,a)ΔC(a):=HomC(a,)
と表す.

Kan 拡張

Kan 拡張とエンド,コエンドには次の関係がある.
LanEF(d)=cCΔ(d)E(c)F(c)RanEF(d)=cCΔE(c)(d)F(c)

米田の補題

ここで,
F(d)=RanidF(d)
であるので,
F(d)=RanidF(d)=cCΔid(c)(d)F(c)=cCHom(F(c),Δ(c)(d))=Nat(FC,ΔC(d))
つまり,米田の補題を
F(d)=cCΔ(c)(d)F(c)
このような形式で表すことができる.
また,双対的に余米田の補題を
F(d)=LanidF(d)=cCΔ(d)id(c)F(c)=cCΔ(d)(c)F(c)
と表す.
余米田の補題はプロ函手の合成として考えると
F(d)=cCΔ(d)(c)F(c)=Δ(d)CFC

投稿日:2024611
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