米田埋め込みは単位的プロ函手

米田埋め込み

米田埋め込みを
$$ \begin{align} \Delta^\mathbb{C}_{(a)}&:=\text{Hom}_\mathbb{C}(-,a)\\ \Delta^{(a)}_\mathbb{C}&:=\text{Hom}_\mathbb{C}(a,-) \end{align} $$
と表す．

Kan 拡張

Kan 拡張とエンド，コエンドには次の関係がある．
$$ \begin{align} \text{Lan}_EF_{(d)}&=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{E_{(c)}}F_{(c)} \\ \text{Ran}_EF_{(d)}&=\overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}{\Delta^{(d)}_{E_{(c)}}}^{F_{(c)}} \\ \end{align} $$

米田の補題

ここで，
$$ F_{(d)}= \text{Ran}_{id}F_{(d)} $$
であるので，
$$ \begin{align} F_{(d)} &= \text{Ran}_{id}F_{(d)} \\ &= \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}{\Delta^{(d)}_{id_{(c)}}}^{F_{(c)}} \\ &= \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}\text{Hom}\left({F_{(c)}},\Delta^{(d)}_{(c)}\right) \\ &= \text{Nat}(F_\mathbb{C},\Delta_\mathbb{C}^{(d)}) \end{align} $$
つまり，米田の補題を
$$ F_{(d)} = \overline{\bigotimes_{c\in\mathbb{C}}}{\Delta^{(d)}_{(c)}}^{F_{(c)}} \\ $$
このような形式で表すことができる．
また，双対的に余米田の補題を
$$ \begin{align} F_{(d)}&=\text{Lan}_{id}F_{(d)}\\ &=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{id_{(c)}}F_{(c)}\\ &=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{(c)}F_{(c)}\\ \end{align} $$
と表す．
余米田の補題はプロ函手の合成として考えると
$$ F_{(d)}=\overline{\bigoplus_{c\in\mathbb{C}}}\Delta_{(d)}^{(c)}F_{(c)}=\Delta_{(d)}^\mathbb{C}F_\mathbb{C} $$