米田埋め込みは単位的プロ函手

米田埋め込み

米田埋め込みを
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Delta }}_{(a)}^{\mathbb{C}}& :={\text{Hom}}_{\mathbb{C}}(-,a)\\ {\mathrm{\Delta }}_{\mathbb{C}}^{(a)}& :={\text{Hom}}_{\mathbb{C}}(a,-)\end{array}$$
と表す．

Kan 拡張

Kan 拡張とエンド，コエンドには次の関係がある．
$$\begin{array}{rl}{\text{Lan}}_E{F}_{(d)}& =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}{\mathrm{\Delta }}_{(d)}^{E_{(c)}}{F}_{(c)}\\ {\text{Ran}}_E{F}_{(d)}& =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}{{\mathrm{\Delta }}_{E_{(c)}}^{(d)}}^{F_{(c)}}\end{array}$$

米田の補題

ここで，
$$F_{(d)}={\text{Ran}}_{id}{F}_{(d)}$$
であるので，
$$\begin{array}{rl}{F}_{(d)}& ={\text{Ran}}_{id}{F}_{(d)}\\ & =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}{{\mathrm{\Delta }}_{i{d}_{(c)}}^{(d)}}^{F_{(c)}}\\ & =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}\text{Hom}(F_{(c)},{\mathrm{\Delta }}_{(c)}^{(d)})\\ & =\text{Nat}(F_{\mathbb{C}},{\mathrm{\Delta }}_{\mathbb{C}}^{(d)})\end{array}$$
つまり，米田の補題を
$$F_{(d)}=\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨂}}{{\mathrm{\Delta }}_{(c)}^{(d)}}^{F_{(c)}}$$
このような形式で表すことができる．
また，双対的に余米田の補題を
$$\begin{array}{rl}{F}_{(d)}& ={\text{Lan}}_{id}{F}_{(d)}\\ & =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}{\mathrm{\Delta }}_{(d)}^{i{d}_{(c)}}{F}_{(c)}\\ & =\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}{\mathrm{\Delta }}_{(d)}^{(c)}{F}_{(c)}\end{array}$$
と表す．
余米田の補題はプロ函手の合成として考えると
$$F_{(d)}=\overline{\underset{c\in \mathbb{C}}{⨁}}{\mathrm{\Delta }}_{(d)}^{(c)}{F}_{(c)}={\mathrm{\Delta }}_{(d)}^{\mathbb{C}}{F}_{\mathbb{C}}$$