【計算】YouTubeで見た洞窟投石実験で崖の高さを計算する

まえがき

こんにちは、高3のぱぺです。
家の近くの塾がお盆休みで使えないのでダラダラしてしまうんですよね本当によくない。本当によくない。

本題

世界でバズった洞窟の投石実験#shorts @YouTube

今回行うことは上記の動画を見たことがきっかけです。

水平投射をしたのは、今自分たちのいる崖の壁に石がぶつからないようにしたかったからでしょう。水平方向への空気抵抗で向こう側の壁にぶち当たらなければいいですけど。

以下では、水平方向への投射を考えず、自由落下かつ壁に当たらないとして考えます。

問題化

解く

石を高さ$H$から自由落下させてから、崖底で衝突する直前までの時間を$t_1$として
$\displaystyle H=\frac{1}{2}gt_1^2 \qquad \therefore t_1=\sqrt{\frac{2H}{g}}\quad(\because t_1>0)$

また、衝突で生じた音が音速$V$で鉛直方向に$H$まで伝わるのにかかる時間を$t_2$とすると、
$\displaystyle Vt_2=H \qquad \therefore t_2=\frac{H}{V}$

$ $

以上から、$T=t_1+t_2$であることを踏まえると、
$\displaystyle \sqrt{\frac{2H}{g}}+\frac{H}{V}=T$ を満たす正の実数$H$を求めればよい。

\begin{aligned} \sqrt{\frac{2H}{g}}+\frac{H}{V}=T \\ \frac{1}{V}H+\sqrt{\frac{2}{g}}\sqrt{H}-T=0\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \sqrt{H}&=\frac{V}{2}\left\{-\sqrt{\frac{2}{g}}+\sqrt{\frac{2}{g}+\frac{4T}{V}}\right\} \quad (\because \sqrt{H}>0)\\ H&=\frac{V^2}{4}\left\{\frac{4}{g}+\frac{4T}{V}-\frac{4}{g}\sqrt{1+\frac{2gT}{V}}\right\} \\ &=VT-\frac{V^2}{g}\left\{\sqrt{1+\frac{2gT}{V}}-1\right\} \end{aligned}

したがって $\displaystyle H=VT-\frac{V^2}{g}\left\{\sqrt{1+\frac{2gT}{V}}-1\right\}$

値の代入

$V=331.5+0.6t \; (t:$摂氏$)$であるので、気温によって高さが微妙に変わるでしょう。

したがって、この洞窟の崖の深さはおよそ$8.2\times 10^2 \text{ m}$であると推定できます。

どの洞窟で、どれだけ深いところにいたか、気温はどれだけかが判明しないと詳しい値は出ないと思いますので、現時点での有効数字は$2$桁として提示します。

また、頭の上から投げたため、身長の分$($およそ$1.7\text{ m}$程度$)$の高さを$H$から引いた$H-1.7$でより詳しい値が出せそうですが、有効数字$2$桁の前ではそれほど変わりません。

さらに色々求めてみよう

以下、次の値を用います。

1. 崖の底に衝突したのは何秒後？

2. 音が伝わるまでにかかった時間は何秒間？

$t_1+t_2\approx 12.91+2.42=15.33$ となるので、ちゃんと計算できていそうですね。

3. $15.33$秒間の中で石が落下した時間の割合は何%?

4. 衝突直前、石の鉛直下方向の速さ

あとがき

二次方程式で$H$を求めるのがかなり面倒くさかったです。
それにしても、洞窟内の谷って$820 \text{ m}$ も深さがあるんですかね。数値が大きすぎるので計算違いしているような気がしてならないです。数値計算は$\text{Wolfram Alpha}$ を用いているので大丈夫でしょうけど。

更新欄

2025/8/14.15:00 投稿