ヤコブスタール和の一般化

記号の約束

$p$を奇素数とします。
$\mathbb{F}_p $を位数$p$の有限体とします。
$\mathbb{F}_p^{\times} $を位数$p$の有限体の乗法群とします。
$a$は$\mathbb{F}_p $の元
$H$を$\mathbb{F}_p^{\times} $の部分群とする。
$h$は$H$の元

$U_1$を絶対値$1$の複素数のなす群とする。
$θ'(a)$を$\mathbb{F}_p^{\times} $から$U_1$への群準同型
$ρ(h)$を$H$から$U_1$への群準同型

$θ(a):= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ θ'(a) \ \ \ a\neq0 \\ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ a=0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $

$ |A| $は$A$が有限集合なら位数、$A$が複素数なら絶対値とする。

自明準同型と非自明準同型

群準同型$f$が自明とは定義域のすべての元$a$で
$f(a)$ が単位元になること

群準同型$f$が非自明とは、$f$は自明ではない群準同型のこと。

非自明準同型の性質

非自明準同型$f$の定義域$G$が有限集合で
$f$の像が整域の単数群なら、
$$\sum_{g \in G}f(g)=0$$
が成り立つ。

証明

$$\sum_{g \in G}f(g)=\sum_{g\in G}f(g'g)=f(g')\sum_{g \in G}f(g)$$
非自明性より$f(g')\neq 1$となる、$g'$を選べる。
$f(g')-1\neq 0$及び
$0=(f(g')-1)\sum_{g \in G}f(g)$
より
$\sum_{g \in G}f(g)=0$

仮定

仮定$1$
$ θ'(a) $は$\mathbb{F}_p^{\times} $で非自明
仮定$2$
$θ'(h)ρ(h)$は$H$で非自明
仮定$3$
$ρ(h)$は$H$で非自明

仮定$1,2,3$を満たすため、$p$は奇素数とした。

$α(a)$

$α(a)$の定義

$$α(a):=\sum_{h \in H}θ(h+a)ρ(h)$$

$α(a)$の性質

性質1

$h'\in H$
$$α(h'a)=\sum_{h \in H}θ(h+h'a)ρ(h)=\sum_{h \in H}θ(h'h+h'a)ρ(h'h)=α(a)θ(h')ρ(h')$$
$|α(a)|^2=|α(h'a)|^2$

性質2

$α(0)=\sum_{h \in H}θ(h)ρ(h)$は仮定2より$0$
$α(0)=0$

定理

$$\sum_{Ha\in H \backslash \mathbb{F}_p^{\times} }|α(a)|^2=p$$

証明

$$\sum_{a\in \mathbb{F}_p^{\times} }|α(a)|^2= \sum_{a\in \mathbb{F}_p }|α(a)|^2$$
$$=\sum_{a\in \mathbb{F}_p }\sum_{h,h'\in H}θ(h+a)ρ(h)\overline{ θ (h'+a)ρ(h') } $$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_p}θ(h+a) \overline{ θ (h'+a)} $$
$(a':=h'+a)$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a'\in \mathbb{F}_p}θ(h-h'+a') \overline{ θ (a')} $$
$θ$の定義より$a'\neq 0$としてよい,
$(a:=a'^{-1})$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_p^{\times}}θ(h-h'+a^{-1}) θ (a) $$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_p^{\times}}θ((h-h')a+1) $$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_p}θ((h-h')a+1)- \sum_{h,h'\in H}ρ(h(h'^{-1})) $$
$\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1}) $は仮定$2$より$ 0$
$$=\sum_{h,h'\in H}ρ(h(h')^{-1})\sum_{a\in \mathbb{F}_p}θ((h-h')a+1)$$
以下
$h=h'$か$h\neq h'$で和を分ける
前者の場合$|H|p$
後者の場合仮定$1$を用いて下記のように$0$になる
$$\sum_{a\in \mathbb{F}_p}θ((h-h')a+1)=\sum_{a\in \mathbb{F}_p}θ(a)=\sum_{a\in \mathbb{F}_p^{\times}}θ'(a)=0$$

まとめると
$$\sum_{a\in \mathbb{F}_p^{\times} }|α(a)|^2=|H|p$$
$ α(a) $の性質1より
$$\sum_{Ha\in H \backslash \mathbb{F}_p^{\times} }|α(a)|^2=p$$
証明終了