ヤコブスタール和の一般化

記号の約束

$p$を奇素数とします。
${\mathbb{F}}_p$を位数$p$の有限体とします。
${\mathbb{F}}_p^{\times }$を位数$p$の有限体の乗法群とします。
$a$は${\mathbb{F}}_p$の元
$H$を${\mathbb{F}}_p^{\times }$の部分群とする。
$h$は$H$の元

$U_1$を絶対値$1$の複素数のなす群とする。
${\theta }^{\prime }(a)$を${\mathbb{F}}_p^{\times }$から$U_1$への群準同型
$\rho (h)$を$H$から$U_1$への群準同型

$\theta (a):=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\theta }^{\prime }(a)a\ne 0\\ 0a=0\end{array}\end{array}$

$|A|$は$A$が有限集合なら位数、$A$が複素数なら絶対値とする。

自明準同型と非自明準同型

群準同型$f$が自明とは定義域のすべての元$a$で
$f(a)$ が単位元になること

群準同型$f$が非自明とは、$f$は自明ではない群準同型のこと。

非自明準同型の性質

非自明準同型$f$の定義域$G$が有限集合で
$f$の像が整域の単数群なら、
$$\sum _{g\in G}f(g)=0$$
が成り立つ。

証明

$$\sum _{g\in G}f(g)=\sum _{g\in G}f(g^{\prime }g)=f(g^{\prime })\sum _{g\in G}f(g)$$
非自明性より$f(g^{\prime })\ne 1$となる、$g^{\prime }$を選べる。
$f(g^{\prime })-1\ne 0$及び
$0=(f(g^{\prime })-1)\sum _{g\in G}f(g)$
より
$\sum _{g\in G}f(g)=0$

仮定

仮定$1$
${\theta }^{\prime }(a)$は${\mathbb{F}}_p^{\times }$で非自明
仮定$2$
${\theta }^{\prime }(h)\rho (h)$は$H$で非自明
仮定$3$
$\rho (h)$は$H$で非自明

仮定$1,2,3$を満たすため、$p$は奇素数とした。

$\alpha (a)$

$\alpha (a)$の定義

$$\alpha (a):=\sum _{h\in H}\theta (h+a)\rho (h)$$

$\alpha (a)$の性質

性質1

$h^{\prime }\in H$
$$\alpha (h^{\prime }a)=\sum _{h\in H}\theta (h+h^{\prime }a)\rho (h)=\sum _{h\in H}\theta (h^{\prime }h+h^{\prime }a)\rho (h^{\prime }h)=\alpha (a)\theta (h^{\prime })\rho (h^{\prime })$$
$|\alpha (a){|}^2=|\alpha (h^{\prime }a){|}^2$

性質2

$\alpha (0)=\sum _{h\in H}\theta (h)\rho (h)$は仮定2より$0$
$\alpha (0)=0$

定理

$$\sum _{Ha\in H\mathrm{\setminus }{\mathbb{F}}_p^{\times }}|\alpha (a){|}^2=p$$

証明

$$\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}|\alpha (a){|}^2=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}|\alpha (a){|}^2$$
$$=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\sum _{h,h^{\prime }\in H}\theta (h+a)\rho (h)\overline{\theta (h^{\prime }+a)\rho (h^{\prime })}$$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta (h+a)\overline{\theta (h^{\prime }+a)}$$
$(a^{\prime }:=h^{\prime }+a)$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a^{\prime }\in {\mathbb{F}}_p}\theta (h-h^{\prime }+a^{\prime })\overline{\theta (a^{\prime })}$$
$\theta$の定義より$a^{\prime }\ne 0$としてよい,
$(a:=a^{\prime -1})$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}\theta (h-h^{\prime }+a^{-1})\theta (a)$$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}\theta ((h-h^{\prime })a+1)$$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta ((h-h^{\prime })a+1)-\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime -1}))$$
$\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})$は仮定$2$より$0$
$$=\sum _{h,h^{\prime }\in H}\rho (h(h^{\prime }{)}^{-1})\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta ((h-h^{\prime })a+1)$$
以下
$h=h^{\prime }$か$h\ne h^{\prime }$で和を分ける
前者の場合$|H|p$
後者の場合仮定$1$を用いて下記のように$0$になる
$$\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta ((h-h^{\prime })a+1)=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p}\theta (a)=\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}{\theta }^{\prime }(a)=0$$

まとめると
$$\sum _{a\in {\mathbb{F}}_p^{\times }}|\alpha (a){|}^2=|H|p$$
$\alpha (a)$の性質1より
$$\sum _{Ha\in H\mathrm{\setminus }{\mathbb{F}}_p^{\times }}|\alpha (a){|}^2=p$$
証明終了