なぜ30°、60°、90°の直角三角形のうち、60°を挟む2辺の長さの比が2:1になるのか
タイトル通りです。
正三角形を2等分した図形だから、というような解説は見たことがあるのですが、算数オリンピックの問題に挑んでたら別ルートの理屈を発見したので、それを紹介。
それでは、参りましょう。
まず、図1のような$\LARGE{∠A＝30°、∠B＝60°、∠C＝90°}$の直角三角形$\LARGE{ABC}$を考えます。
$\LARGE{C}$から、$\LARGE{AB}$と交わるように線を引き、$\LARGE{AB}$との交点を$\LARGE{D}$とします。この時、$\LARGE{∠BCD＝60°}$となるように$\LARGE{DC}$を引きます(図2)。
$\LARGE{∠CDB}＝180°－60°×2$
$\LARGE{＝180°－120°}$
$\LARGE{＝60°}$
であり、$\LARGE{⊿BCD}$は一辺が$\LARGE{BC}$の正三角形であることが分かります。
そのため、$\LARGE{BC＝DC}$かつ$\LARGE{DC＝DB}$です。
また、
$\LARGE{∠ADC＝180°－∠CDB}$
$\LARGE{＝180°－60°}$
$\LARGE{＝120°}$
であり、
$\LARGE{∠DCA＝90°－60°}$
$\LARGE{＝30°}$
で、$\LARGE{∠CAD＝30°}$なので、$\LARGE{⊿ADC}$は$\LARGE{AD＝DC}$の二等辺三角形であることが分かります。
$\LARGE{AB＝AD+DB}$
$\LARGE{DB+DB}$
$\LARGE{＝DB×2}$
であり、
$\LARGE{AB÷2＝DB}$
$\LARGE{＝BC}$
です。
比で表すと、
$\LARGE{AB：BC＝DB×2：DB}$
$\LARGE{＝2：1}$
です。
よって、30°、60°、90°の直角三角形のうち、60°を挟む2辺の長さの比は、
$\LARGE{2：1}$
になります。
