11

K²+K'² を分母にもつ関数の定積分

523
0

定義・記法

以下,当記事での定義および記法を示します.

βr=22r(2rr)K(x)=π2n=0βn2x2nK(x)=K(1x2)112tx+t2=n=0tnPn(x)112tx+t2=n=0tnUn(x)G=n=0(1)n(2n+1)2

また,分子のK(x),K(x)の数に応じて,積分の"重み"を決定します.すなわちK(x)aK(x)bの場合を重みa+b1とします.

使用アプリケーション

WolframAlpha
PARI/GP

(数値実験 1) 重み0

xn

01K(x)K(x)2+K(x)2x0dx=1401K(x)K(x)2+K(x)2x2dx=56401K(x)K(x)2+K(x)2x4dx=1125601K(x)K(x)2+K(x)2x6dx=46916384

Pn(x)

01K(x)K(x)2+K(x)2P0(x)dx=1401K(x)K(x)2+K(x)2P2(x)dx=112801K(x)K(x)2+K(x)2P4(x)dx=23204801K(x)K(x)2+K(x)2P6(x)dx=499262144

Un(x)

01K(x)K(x)2+K(x)2U0(x)dx=1401K(x)K(x)2+K(x)2U4(x)dx=001K(x)K(x)2+K(x)2U8(x)dx=001K(x)K(x)2+K(x)2U12(x)dx=001K(x)K(x)2+K(x)2U2(x)dx=11601K(x)K(x)2+K(x)2U6(x)dx=525601K(x)K(x)2+K(x)2U10(x)dx=11102401K(x)K(x)2+K(x)2U14(x)dx=46965536

 

01K(x)K(x)2+K(x)2U4n(x)dx=14δ0,n01K(x)K(x)2+K(x)2x4ndx=4(1)n01K(x)K(x)2+K(x)2U8n+2(x)dx01K(x)K(x)2+K(x)2x4n+2dx=4(1)n+101K(x)K(x)2+K(x)2U8n+6(x)dx01K(x)K(x)2+K(x)2x2ndx=[x2n]1x2(1π21K(x))

(数値実験 2) 重み1

xn

01K(x)2K(x)2+K(x)2x1dx=1401K(x)2K(x)2+K(x)2x3dx=1912801K(x)2K(x)2+K(x)2x5dx=4138401K(x)2K(x)2+K(x)2x7dx=549165536

01K(x)2K(x)2+K(x)2x1dx=1401K(x)2K(x)2+K(x)2x3dx=1312801K(x)2K(x)2+K(x)2x5dx=2338401K(x)2K(x)2+K(x)2x7dx=270165536

Pn(x)

01K(x)2K(x)2+K(x)2P1(x)dx=1401K(x)2K(x)2+K(x)2P3(x)dx=3125601K(x)2K(x)2+K(x)2P5(x)dx=53102401K(x)2K(x)2+K(x)2P7(x)dx=383271048576

01K(x)2K(x)2+K(x)2P1(x)dx=1401K(x)2K(x)2+K(x)2P3(x)dx=125601K(x)2K(x)2+K(x)2P5(x)dx=11102401K(x)2K(x)2+K(x)2P7(x)dx=26331048576

Un(x)

01K(x)2K(x)2+K(x)2U1(x)dx=1201K(x)2K(x)2+K(x)2U5(x)dx=1601K(x)2K(x)2+K(x)2U9(x)dx=11001K(x)2K(x)2+K(x)2U13(x)dx=11401K(x)2K(x)2+K(x)2U3(x)dx=31601K(x)2K(x)2+K(x)2U7(x)dx=5151201K(x)2K(x)2+K(x)2U11(x)dx=3551201K(x)2K(x)2+K(x)2U15(x)dx=13683262144

 

01K(x)2K(x)2+K(x)2(x2n+14U4n+3(x))dx=1n+101K(x)2K(x)2+K(x)2x1z2x2dx=1z2(ln4zπ2K(z)K(z))

(数値実験 3) 重み2

xn

01K(x)3K(x)2+K(x)2x0dx=β02ζ(2)01K(x)3K(x)2+K(x)2x2dx=β12ζ(2)1801K(x)3K(x)2+K(x)2x4dx=β22ζ(2)4951201K(x)3K(x)2+K(x)2x6dx=β32ζ(2)140518432

Pn(x)

01K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2P0(x)dx=12β03ζ(2)01K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2P2(x)dx=31612β13ζ(2)01K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2P4(x)dx=12β23ζ(2)205409601K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2P6(x)dx=36059830412β33ζ(2)

01K(x)3K(x)2+K(x)2P0(x)dx=β03ζ(2)01K(x)3K(x)2+K(x)2P2(x)dx=(β13ζ(2)+316)01K(x)3K(x)2+K(x)2P4(x)dx=β23ζ(2)+205409601K(x)3K(x)2+K(x)2P6(x)dx=(β33ζ(2)+360598304)

Un(x)

01K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U0(x)dx=12β02ζ(2)01K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U4(x)dx=12β12ζ(2)+13201K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U8(x)dx=12β22ζ(2)+49204801K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U12(x)dx=12β32ζ(2)+14057372801K(x)3K(x)2+K(x)2U0(x)dx=β02ζ(2)01K(x)3K(x)2+K(x)2U4(x)dx=β12ζ(2)13201K(x)3K(x)2+K(x)2U8(x)dx=β22ζ(2)49204801K(x)3K(x)2+K(x)2U12(x)dx=β32ζ(2)140573728

01K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U2(x)dx=1201K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U6(x)dx=2901K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U10(x)dx=3222501K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U14(x)dx=1281225

 

01K(x)3K(x)2+K(x)2(4U4n(x)x2n)dx=π22βn201K(x)2K(x)K(x)2+K(x)2U4n+2(x)dx=2(2n+1)2βn2

(数値実験 4) 重み3

Un(x)

01K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2U1(x)dx=32ζ(3)01K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2U5(x)dx=3212ζ(3)31601K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2U9(x)dx=321132ζ(3)363204801K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2U13(x)dx=321764ζ(3)583336864

01K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2P1(x)dx=34ζ(3)01K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2P3(x)dx=3414ζ(3)01K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2P5(x)dx=3453256ζ(3)1894096

その他

重み0

01K(x)4K(x)(K(x)2+K(x)2)2dx=916ζ(3)01K(x)6K(x)(K(x)2+K(x)2)3dx=4564ζ(3)93256ζ(5)01K(x)8K(x)(K(x)2+K(x)2)4dx=105128ζ(3)159256ζ(5)

01K(x)4K(x)(K(x)2+K(x)2)dx=218ζ(3)01K(x)6K(x)(K(x)2+K(x)2)2dx=3316ζ(3)01K(x)8K(x)(K(x)2+K(x)2)3dx=8764ζ(3)+93256ζ(5)01K(x)10K(x)(K(x)2+K(x)2)4dx=69128ζ(3)+6364ζ(5)01K(x)12K(x)(K(x)2+K(x)2)5dx=3931024ζ(3)+85474096ζ(5)952532768ζ(7)

01K(x)4K(x)3dx=934ζ(5)01K(x)6K(x)3(K(x)2+K(x)2)dx=218ζ(3)+934ζ(5)

重み3

013K(x)44K(x)2K(x)2K(x)2+K(x)2xdx=0

重み4

01K(x)5+K(x)2K(x)3K(x)K(x)4K(x)2+K(x)2dx=001K(x)4K(x)K(x)2+K(x)2dx01K(x)5K(x)4K(x)K(x)2+K(x)2xdx01K(x)3K(x)2K(x)K(x)4K(x)2+K(x)2x2dx=001K(x)5+2K(x)3K(x)2+K(x)K(x)4K(x)5K(x)2+K(x)2dx=00112K(x)52K(x)5K(x)2+K(x)2dx013K(x)4K(x)K(x)2+K(x)2xdx=00132(x)55K(x)5K(x)2+K(x)2dx018K(x)4K(x)K(x)2+K(x)2xdx=00111K(x)5K(x)2+K(x)2dx0196K(x)4K(x)+39K(x)5K(x)2+K(x)2x2dx=0

01K(x)6K(x)(K(x)2+K(x)2)dx=Γ(14)8160π2

λK(x)2+μK(x)2

重み2

01K(x)3K(x)2+122K(x)2dx=6G72ζ(3)01K(x)K(x)2K(x)2+122K(x)2dx=16G+14ζ(3)

01K(x)K(x)2K(x)2+132K(x)2dx=198ζ(3)01K(x)K(x)2132K(x)2+K(x)2dx=118ζ(3)

重み4

01K(x)5K(x)2+122K(x)2dx=01K(x)5K(x)2+K(x)2dx+33201K(x)5K(x)2+K(x)2dx01K(x)4K(x)K(x)2+122K(x)2dx=5201K(x)5K(x)2+K(x)2dx52401K(x)5K(x)2+K(x)2dx01K(x)3K(x)2K(x)2+122K(x)2dx=401K(x)5K(x)2+K(x)2dx+9801K(x)5K(x)2+K(x)2dx01K(x)2K(x)3K(x)2+122K(x)2dx=1001K(x)5K(x)2+K(x)2dx+5201K(x)5K(x)2+K(x)2dx01K(x)K(x)4K(x)2+122K(x)2dx=1601K(x)5K(x)2+K(x)2dx201K(x)5K(x)2+K(x)2dx01K(x)5K(x)2+122K(x)2dx=4001K(x)5K(x)2+K(x)2dx501K(x)5K(x)2+K(x)2dx

601K(x)5122K(x)2+K(x)2dx+1201K(x)4K(x)122K(x)2+K(x)2dx=153601K(x)5K(x)2+K(x)2dx+30501K(x)5K(x)2+K(x)2dx201K(x)3K(x)2122K(x)2+K(x)2dx+401K(x)2K(x)3122K(x)2+K(x)2dx=12801K(x)5K(x)2+K(x)2dx2301K(x)5K(x)2+K(x)2dx01K(x)K(x)4122K(x)2+K(x)2dx+201K(x)5122K(x)2+K(x)2dx=1601K(x)5K(x)2+K(x)2dx+601K(x)5K(x)2+K(x)2dx

72901K(x)5K(x)2+132K(x)2dx=73101K(x)5K(x)2+K(x)2dx+38001K(x)5K(x)2+K(x)2dx64801K(x)3K(x)2K(x)2+132K(x)2dx=584801K(x)5K(x)2+K(x)2dx85301K(x)5K(x)2+K(x)2dx3601K(x)K(x)4K(x)2+132K(x)2dx=292401K(x)5K(x)2+K(x)2dx+62901K(x)5K(x)2+K(x)2dx

投稿日:2024121
更新日:2024524
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  2. 使用アプリケーション
  3. (数値実験 1) 重み0
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  5. Pn(x)
  6. Un(x)
  7. (数値実験 2) 重み1
  8. xn
  9. Pn(x)
  10. Un(x)
  11. (数値実験 3) 重み2
  12. xn
  13. Pn(x)
  14. Un(x)
  15. (数値実験 4) 重み3
  16. Un(x)
  17. その他
  18. 重み0
  19. 重み3
  20. 重み4
  21. λK(x)2+μK(x)2
  22. 重み2
  23. 重み4