SingalによるWatsonの3F2和公式の二重類似2
$a,b,c$のどれかが負整数のとき,
\begin{align}
\F32{a,2b,2c}{d,b+c+\frac 12}1&=\F43{a,d-a,b,c}{\frac d2,\frac{d+1}2,b+c+\frac 12}1
\end{align}
が成り立つ.
$b$が負整数の場合に示す. 二次の変換公式
\begin{align}
\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}t&=\F21{b,c}{b+c+\frac 12}{4t(1-t)}
\end{align}
が成り立つことから,
\begin{align}
\F32{a,2b,2c}{d,b+c+\frac 12}1&=\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(d-a)}\sum_{0\leq n}\frac{(2b,2c)_n}{n!\left(b+c+\frac 12\right)_n}\int_0^1t^{n+a-1}(1-t)^{d-a-1}\,dt\\
&=\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(d-a)}\int_0^1\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{t}t^{a-1}(1-t)^{d-a-1}\,dt\\
&=\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(d-a)}\int_0^1\F21{b,c}{b+c+\frac 12}{4t(1-t)}t^{a-1}(1-t)^{d-a-1}\,dt\\
&=\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(d-a)}\sum_{0\leq n}\frac{(b,c)_n}{n!\left(b+c+\frac 12\right)}4^n\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(d-a+n)}{\Gamma(d+2n)}\\
&=\F43{a,d-a,b,c}{\frac{d}2,\frac{d+1}2,b+c+\frac 12}1
\end{align}
が得られる. $a$が負整数のとき, 両辺は$b$に関する有理関数であり, $b$が負整数のとき一致するから, 有理関数として一致する.
全く同様の方針で次が示される.
$a,d-a$または$b,b'$または$c,c'$が負整数のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,2b,2c)_n}{n!\left(b+c+\frac 12\right)_n}\frac{(d-a,2b',2c')_n}{n!\left(b'+c'+\frac 12\right)_n}\frac 1{(d)_{n+m}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c)_n}{n!\left(b+c+\frac 12\right)_n}\frac{(b',c')_m}{m!\left(b'+c'+\frac 12\right)_m}\frac{(a,d-a)_{n+m}}{\left(\frac d2,\frac{d+1}2\right)_{n+m}}
\end{align}
$b,b'$が負整数の場合に示せば十分である. それは以下のように示される.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n,m}\frac{(a,2b,2c)_n}{n!\left(b+c+\frac 12\right)_n}\frac{(d-a,2b',2c')_n}{n!\left(b'+c'+\frac 12\right)_n}\frac 1{(d)_{n+m}}\\
&=\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(d-a)}\int_0^1\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}t\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{1-t}t^{a-1}(1-t)^{d-a-1}\,dt\\
&=\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(a)\Gamma(d-a)}\int_0^1\F21{b,c}{b+c+\frac 12}{4t(1-t)}\F21{b',c'}{b'+c'+\frac 12}{4t(1-t)}t^{a-1}(1-t)^{d-a-1}\,dt\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c)_n}{n!\left(b+c+\frac 12\right)_n}\frac{(b',c')_m}{m!\left(b'+c'+\frac 12\right)_m}\frac{(a,d-a)_{n+m}}{\left(\frac d2,\frac{d+1}2\right)_{n+m}}.
\end{align}
このように二重和を積分で書き換えるという方法は有効であり, 例えば 前の記事 の定理を積分で書き換えると以下の公式を得る.
\begin{align} &\frac{\Gamma(2a)}{\Gamma(a)^2}\int_0^1\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{t}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{1-t}t^{a-1}(1-t)^{a-1}\,dt\\ &=\frac{\pi\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b-c\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b'-c'\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)^2}{\Gamma\left(b+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b\right)\Gamma\left(a+\frac 12-c\right)\Gamma\left(b'+\frac 12\right)\Gamma\left(c'+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b'\right)\Gamma\left(a+\frac 12-c'\right)}\\ &\cdot\F76{a-\frac 12,\frac a2+\frac 34,a,b,c,b',c'}{\frac a2-\frac 14,\frac 12,\frac 12+a-b,\frac 12+a-c,\frac 12+a-b',\frac 12+a-c'}1\\ &-\frac {2\pi\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b-c\right)\Gamma\left(a+\frac 12-b'-c'\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 32\right)}{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(b')\Gamma(c')\Gamma(1+a-b')\Gamma(1+a-c')}\\ &\cdot\F76{a+\frac 12,\frac a2+\frac 54,a,b+\frac 12,c+\frac 12,b'+\frac 12,c'+\frac 12}{\frac a2+\frac 14,\frac 32,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c'}1 \end{align}
$b+b'=\frac 12+a$のとき,
\begin{align}
&\int_0^1\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{t}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{1-t}t^{a-1}(1-t)^{a-1}\,dt\\
&=\frac{2^{1-2a}\pi\Gamma\left(b+c+\frac 12\right)\Gamma\left(b'+c'+\frac 12\right)\Gamma(b'-c)\Gamma(b-c')\Gamma(a)}{\Gamma(b)\Gamma\left(b+\frac 12\right)\Gamma(b')\Gamma\left(b'+\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12+a-c-c'\right)\Gamma\left(\frac 12+c+c'\right)}
\end{align}
上の左辺の積分は
\begin{align}
&\int_0^1\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{t}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{1-t}t^{a-1}(1-t)^{a-1}\,dt\\
&=\int_0^{\frac 12}\left(\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{t}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{1-t}+\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{1-t}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{t}\right)t^{a-1}(1-t)^{a-1}\,dt\\
&=2^{-2a}\int_0^1\left(\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{\frac{1-\sqrt{1-t}}2}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{\frac{1+\sqrt{1-t}}2}+\F21{2b,2c}{b+c+\frac 12}{\frac{1+\sqrt{1-t}}2}\F21{2b',2c'}{b'+c'+\frac 12}{\frac{1-\sqrt{1-t}}2}\right)\frac{t^{a-1}}{\sqrt{1-t}}\,dt
\end{align}
として有限Mellin変換の形に書き換えることができる. 被積分関数が満たす微分方程式を調べるというアプローチも有効そうである.
