関数づくり1
創造しよう
日記的な感じで、思いついた関数を書く。適当に思いついているので特殊値や別の関数が思いついたら2,3を書き上げていこうかと。
総積関数
名前が思いつかないのでこんなノリで。
$$G_{n}^{x}(f(x)):=\prod_{k=1}^{n}f(kx)$$
を定める。
無限大の振る舞いは一旦無視してます。Gは何となく強そうだったのでインパクトを与えるために添えました。バーンズのG関数とは違うよ。
下の添え字が適用回数?で上の添え字が変数(引数)です。
($ex.G_{3}^{v}(\sin v)=\sin v\sin 2v\sin 3v$ 3回適用、独立変数:$v$)
変数が定まっているときの表記も考えましょう。
$G_{n}^{t=3}(f(t))$ ($t=3$を代入)
はい、これでいいでしょう。
例で、あなたの脳にこの関数を刷り込みます。
(1)$G_{5}^{x}(x)=x\cdot 2x\cdot 3x\cdot 4x\cdot 5x=120x^5$
(2)$G_{n}^{x=π}(\sin\frac{x}{n})=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{kπ}{n}=0$
(3)$\lim_{n→∞}G_{n}^{t=0}(\cos t)=\prod_{k=1}^{∞}\cos 0=1$
(1)は単純に、(2)はk=nで0を振る舞う、(3)は引数がすべてを滅ぼす、といった感じ。せっかく関数ですので「微分」していきましょう。
総積関数の微分
$$\frac{d(G_{n}^{x}(f(x)))}{dx}$$を計算する。任意の関数の積$\prod f_i$の微分について、$i$番目を微分した関数の$i$個の足し合わせであるから、
$$\frac{d(G_{n}^{x}(f(x)))}{dx}=\frac{df(x)f(2x)\cdots f(nx)}{dx}$$
$$=f'(x)f(2x)\cdots f(nx)+f(x)2f'(2x)\cdots f(nx)+\cdots +f(x)f(2x)\cdots nf'(nx)$$
$$=G_{n}^{x}(f(x))\sum_{k=1}^{n}\frac{kf'(kx)}{f(kx)}$$
$$[kf'(kx)=(f(kx))']$$
途中を省きました。許してください。具体例あげますから。
$$G_{n}^{x}(\sin x)=\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx$$
$$\frac{d(G_{n}^{x}(\sin x))}{dx}$$
$$=(\cos x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx)+(\sin x\cdot 2\cos 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx)+(\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot n\cos nx)$$
$$=\frac{\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx}{\tan x}+\frac{2\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx}{\tan 2x}+\cdots +\frac{n\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx}{\tan nx}$$
$$=G_{n}^{x}(\sin x)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{\tan kx}$$
おもろいっしょ。cos版、tan版、e版見てみましょう。あと乗算(・)省略します。
$$\frac{d(G_{n}^{x}(\cos x))}{dx}$$
$$=-(\sin x\cos 2x\cdots\cos nx)-(2\cos x\cos 2x\cdots\cos nx)-\cdots -(n\cos x\cos 2x\cdots\sin nx)$$
$$=-((\cos x\cos 2x\cdots\cos nx)\tan x+2(\cos x\cos 2x\cdots\cos nx)\tan 2x+\cdots+n(\cos x\cos 2x\cdots\cos nx)\tan nx)$$
$$=-G_{n}^{x}(\cos x)\sum_{k=1}^{n}k\tan kx$$
$$\frac{d(G_{n}^{x}(\tan x))}{dx}$$
$$=\frac{\tan 2x\tan 3x\cdots\tan nx}{\cos^2 x}+\frac{2\tan x\tan 3x\cdots\tan nx}{\cos^2 2x}+\cdots+\frac{n\tan x\tan 2x\cdots\tan nx}{\cos^2 nx}$$
$$=G_{n}^{x}(\tan x)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{\tan kx\cos^2 kx}=G_{n}^{x}(\tan x)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{\sin kx\cos kx}=G_{n}^{x}(\tan x)\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{\sin 2kx}$$
$$G_{n}^{x}(e^x)=e^xe^{2x}\cdots e^{nx}=e^{\sum_{i=1}^{n}ix}=e^{\frac{1}{2}n(n+1)x}$$
$$\therefore\frac{d(G_{n}^{x}(e^x))}{dx}=\frac{1}{2}n(n+1)e^{\frac{1}{2}n(n+1)x}(=\frac{1}{2}n(n+1)G_{n}^{x}(e^x))$$
おもろい。
任意の$j\in\mathbb N$について、$\frac{d\ln jx}{dx}=\frac{1}{x}$である。
$$\frac{d(G_{n}^{x}(\ln x))}{dx}=G_{n}^{x}(\ln x)\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x\ln kx}$$
導関数は導関数を用いずに表せなくちゃ。
対数はkのような係数が出てこないのが特徴ですね。
シグマ以降は私の力ではどうにもなりませんでした。
conclusion
生かせそうな形か全くわかりませんが、面白いですよね。ね?
次回の見通しは立ってます。引数をスライドしながら倍する、だったので「累乗」あるいは、より「一般化」できそう。他にもこんな関数見つけたよ、があったら教えてほしいです。
