エンタメ解説

関数づくり1

総乗,オリジナル関数

創造しよう

日記的な感じで、思いついた関数を書く。適当に思いついているので特殊値や別の関数が思いついたら2,3を書き上げていこうかと。

総積関数

名前が思いつかないのでこんなノリで。

総積関数

$G_{n}^{x} (f (x)) := \prod_{k = 1}^{n} f (k x)$
を定める。

無限大の振る舞いは一旦無視してます。Gは何となく強そうだったのでインパクトを与えるために添えました。バーンズのG関数とは違うよ。
下の添え字が適用回数?で上の添え字が変数(引数)です。
( $e x . G_{3}^{v} (\sin v) = \sin v \sin 2 v \sin 3 v$ 3回適用、独立変数: $v$ )
変数が定まっているときの表記も考えましょう。
$G_{n}^{t = 3} (f (t))$ ( $t = 3$ を代入)
はい、これでいいでしょう。
例で、あなたの脳にこの関数を刷り込みます。

(1) $G_{5}^{x} (x) = x \cdot 2 x \cdot 3 x \cdot 4 x \cdot 5 x = 120 x^{5}$
(2) $G_{n}^{x = π} (\sin \frac{x}{n}) = \prod_{k = 1}^{n} \sin \frac{k π}{n} = 0$
(3) $lim_{n \to \infty} G_{n}^{t = 0} (\cos t) = \prod_{k = 1}^{\infty} \cos 0 = 1$

(1)は単純に、(2)はk=nで0を振る舞う、(3)は引数がすべてを滅ぼす、といった感じ。せっかく関数ですので「微分」していきましょう。

総積関数の微分

$\frac{d (G_{n}^{x} (f (x)))}{d x}$ を計算する。任意の関数の積 $\prod f_{i}$ の微分について、 $i$ 番目を微分した関数の $i$ 個の足し合わせであるから、
$\frac{d (G_{n}^{x} (f (x)))}{d x} = \frac{d f (x) f (2 x) \dots f (n x)}{d x}$
$= f^{'} (x) f (2 x) \dots f (n x) + f (x) 2 f^{'} (2 x) \dots f (n x) + \dots + f (x) f (2 x) \dots n f^{'} (n x)$
$= G_{n}^{x} (f (x)) \sum_{k = 1}^{n} \frac{k f^{'} (k x)}{f (k x)}$
$[k f^{'} (k x) = (f (k x))^{'}]$

途中を省きました。許してください。具体例あげますから。

G_{n}^{x} (\sin x)

$G_{n}^{x} (\sin x) = \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x$
$\frac{d (G_{n}^{x} (\sin x))}{d x}$
$= (\cos x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x) + (\sin x \cdot 2 \cos 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x) + (\sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot n \cos n x)$
$= \frac{\sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x}{\tan x} + \frac{2 \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x}{\tan 2 x} + \dots + \frac{n \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x}{\tan n x}$
$= G_{n}^{x} (\sin x) \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{\tan k x}$

おもろいっしょ。cos版、tan版、e版見てみましょう。あと乗算(・)省略します。

G_{n}^{x} (\cos x)

$\frac{d (G_{n}^{x} (\cos x))}{d x}$
$= - (\sin x \cos 2 x \dots \cos n x) - (2 \cos x \cos 2 x \dots \cos n x) - \dots - (n \cos x \cos 2 x \dots \sin n x)$
$= - ((\cos x \cos 2 x \dots \cos n x) \tan x + 2 (\cos x \cos 2 x \dots \cos n x) \tan 2 x + \dots + n (\cos x \cos 2 x \dots \cos n x) \tan n x)$
$= - G_{n}^{x} (\cos x) \sum_{k = 1}^{n} k \tan k x$

G_{n}^{x} (\tan x)

$\frac{d (G_{n}^{x} (\tan x))}{d x}$
$= \frac{\tan 2 x \tan 3 x \dots \tan n x}{\cos^{2} x} + \frac{2 \tan x \tan 3 x \dots \tan n x}{\cos^{2} 2 x} + \dots + \frac{n \tan x \tan 2 x \dots \tan n x}{\cos^{2} n x}$
$= G_{n}^{x} (\tan x) \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{\tan k x \cos^{2} k x} = G_{n}^{x} (\tan x) \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{\sin k x \cos k x} = G_{n}^{x} (\tan x) \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k}{\sin 2 k x}$

G_{n}^{x} (e^{x})

$G_{n}^{x} (e^{x}) = e^{x} e^{2 x} \dots e^{n x} = e^{\sum_{i = 1}^{n} i x} = e^{\frac{1}{2} n (n + 1) x}$
$∴ \frac{d (G_{n}^{x} (e^{x}))}{d x} = \frac{1}{2} n (n + 1) e^{\frac{1}{2} n (n + 1) x} (= \frac{1}{2} n (n + 1) G_{n}^{x} (e^{x}))$

おもろい。

G_{n}^{x} (\ln x)

任意の $j \in N$ について、 $\frac{d \ln j x}{d x} = \frac{1}{x}$ である。
$\frac{d (G_{n}^{x} (\ln x))}{d x} = G_{n}^{x} (\ln x) \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{x \ln k x}$