Ohno-Zudilinの重み付き和公式のシンプルな証明
二重ゼータ値は
\begin{align}
\zeta(a,b):=\sum_{0< n< m}\frac 1{n^am^b}
\end{align}
によって定義される. 今回は, 以下の重み付き和公式にシンプルな証明を与えようと思う.
$k\geq 3$のとき,
\begin{align}
\sum_{\substack{1\leq a, 2\leq b, a+b=k}}2^b\zeta(a,b)&=(k+1)\zeta(k)
\end{align}
が成り立つ.
$k\geq 1$とする.
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}2^{b+2}\zeta(a+1,b+2)&=\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\sum_{0< n< m}\frac 1{n^{a+1}}\left(\frac 2m\right)^{b+2}\\
&=\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\left(\sum_{0< n< m, m=2n}+\sum_{0< n< m,m\neq 2n}\right)\frac 1{n^{a+1}}\left(\frac 2m\right)^{b+2}\\
&=\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\zeta(k+2)+4\sum_{0< n< m,m\neq 2n}\frac 1{nm^2}\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\frac 1{n^{a}}\left(\frac 2m\right)^{b}\\
&=k\zeta(k+2)+4\sum_{0< n< m,m\neq 2n}\frac 1{nm^2}\frac{\frac 1{n^k}-\left(\frac 2m\right)^k}{\frac 1n-\frac 2m}\\
&=k\zeta(k+2)+4\sum_{0< n< m,m\neq 2n}\frac 1{m(m-2n)}\left(\frac 1{n^k}-\left(\frac 2m\right)^k\right)
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
&\sum_{0< n< m,m\neq 2n}\frac 1{m(m-2n)}\left(\frac 1{n^k}-\left(\frac 2m\right)^k\right)\\
&=\sum_{0< n}\frac 1{n^k}\sum_{n< m, m\neq 2n}\frac 1{m(m-2n)}-\sum_{0< m}\frac 1{m}\left(\frac 2m\right)^k\sum_{0< n< m, 2n\neq m}\frac 1{m-2n}
\end{align}
であり,
\begin{align}
\sum_{n< m, m\neq 2n}\frac 1{m(m-2n)}&=\frac 1{2n}\sum_{n< m,m\neq 2n}\left(\frac 1{m-2n}-\frac 1m\right)\\
&=\frac 1{2n}\left(\sum_{n< m<2n}\left(\frac 1{m-2n}-\frac 1m\right)+\sum_{2n< m}\left(\frac 1{m-2n}-\frac 1m\right)\right)\\
&=\frac 1{2n}\left(\frac 1n-\sum_{m=1}^{2n-1}\frac 1m+\sum_{m=1}^{2n}\frac 1m\right)\\
&=\frac 1{2n}\left(\frac 1n+\frac 1{2n}\right)\\
&=\frac 3{4n^2}\\
\sum_{0< n< m,2n\neq m}\frac 1{m-2n}&=0
\end{align}
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}2^{b+2}\zeta(a+1,b+2)&=k\zeta(k+2)+3\sum_{0< n}\frac 1{n^{k+2}}\\
&=(k+3)\zeta(k+2)
\end{align}
を得る. これを書き換えると定理を得る.
定理1には, 他にも多重ゼータ値の複シャッフル関係式を用いた証明, two-one formulaと Ohno関係式 を用いた証明が知られている.
