高校数学解説

二項係数の逆数和に関する研究

ベータ関数,二項係数

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ベータ関数が鍵

ごちゃごちゃうるせえ！
数学を楽しむものなら、数式で語ろうぜ！
という事で、淡々と余計なことを語らずに二項係数の逆数の和について書いていくよ。

二項係数の逆数とベータ関数

この定理がこの記事の本質的部分だよ！

$\frac{1}{_{n} C_{k}} = k B (k, n - k + 1)$

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{_{n} C_{k}} & = & \frac{k! (n - k)!}{n!} \\ = & \frac{Γ (k + 1) Γ (n - k + 1)}{Γ (n + 1)} \\ = & k \frac{Γ (k) Γ (n - k + 1)}{Γ (n + 1)} \\ = & k B (k, n - k + 1) \end{array}$

とある二項係数の逆数和と積分

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{_{k a + b} C_{b}} = b \int_{0}^{1} \frac{{(1 - x)}^{b - 1}}{1 - x^{a}} d x$

$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{_{k a + b} C_{b}} & = & b \sum_{k = 0}^{\infty} B (b, k a + 1) \\ = & b \sum_{k = 0}^{\infty} B (k a + 1, b) \\ = & b \sum_{k = 0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{k a} {(1 - x)}^{b - 1} d x \\ = & b \int_{0}^{1} \frac{{(1 - x)}^{b - 1}}{1 - x^{a}} d x \end{array}$

とりあえず具体的に計算してみようぜ！

$a = 1$ の場合
$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{_{k + b} C_{b}} & = & b \int_{0}^{1} {(1 - x)}^{b - 2} d x \\ = & \frac{b}{b - 1} \end{array}$

$a = 2, b \geq 3$ の場合
$\begin{array}{rcl} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{_{2 k + b} C_{b}} & = & b \int_{0}^{1} \frac{{(1 - x)}^{b - 2}}{1 + x} d x \\ = & b \int_{1}^{2} \frac{{(2 - x)}^{b - 2}}{x} d x \\ = & b \int_{0}^{\ln 2} {(2 - \exp x)}^{b - 2} d x \\ = & b \int_{0}^{\ln 2} \sum_{k = 0}^{b - 2} {(- 1)}^{k}_{b - 2} C_{k} 2^{b - 2 - k} \exp k x d x \\ = & b 2^{b - 1} {\ln 2 + \sum_{k = 1}^{b - 2} \frac{{(- 1)}^{k}}{k}_{b - 2} C_{k}} \end{array}$