部分分数分解を楽に処理する

積分で部分分数分解をするときに、ヘビサイドの展開定理というのを使うとめっちゃ便利なので紹介します！
(証明は省きます。他サイト本願)

分母が1次式で因数分解された形

例えばこんなの 【ヨビノリコラボ】たくみから我らが誇り"積分"を取り戻します【受験生必見】【ガチ数学対決】
https://youtu.be/WrqArdYqK5Q?si=7qwnVxqx-NwicGg8&t=128

この被積分関数を部分分数分解するってなったら
$$\frac Ax + \frac B{x+1} + \frac C{x+2}$$
普通だったらまずこう置いて、通分して係数比較や代入をしますよね。
ヘビサイドならこの$A,B,C$をそんなことせずに一瞬で出せます。マジです

まず$A$を求めるには、$x$が$0$になる値$x=0$を$\dfrac1{x(x+1)(x+2)}$に、
$x$を指で隠しながら代入します。
$\dfrac1{\phantom{x}(0+1)(0+2)}=\dfrac12$です。これが$A$です。

$B$も、$x+1$が$0$になる値$x=-1$を$(x+1)$を隠しながら代入して、
$B = \dfrac1{-1\phantom{x+1}(-1+2)}=-1$

同様に、$C = \dfrac1{-2(-2+1)\phantom{x+2}} = \dfrac12$

$$\therefore\quad \frac1{x(x+1)(x+2)} = \frac{1/2}{x}-\frac1{x+1}+\frac{1/2}{x+2}$$
これで部分分数分解は完了です。
圧倒的速さ。計算ミスも少ないでしょう。積分だったらあとは$\ln$にするだけです。
実際にやるときは先に分母だけ書いて、後から暗算で分子を書くのが速いと思います。

ちなみに、分子が定数じゃなくても、分母より次数が1低ければ使えます(たぶん)。
練習問題を載せておくので、やってみてください。(答えは一番下)
(1) $\displaystyle\frac{2x+5}{(x+1)(x+2)}$
(2) $\displaystyle\frac{x^2-x+4}{x(x+1)(x+2)}$

それ以外の形

実数の範囲で因数分解できないやつ

$$\frac1{x(x+1)(x^2+1)} = \frac1{x(x+1)(x-i)(x+i)}$$
とはできるが、ヘビサイド使おうとすると$x=i$とか代入することになる。しかし複素数の分数の計算はめんどくさいので、ここは
$$\frac{1}x+\frac{-1/2}{x+1}+\frac{Ax+B}{x^2+1}$$
と置いて通分する方が楽かと思います。(分母1次のところはヘビサイド使える)
1/x, 1/(x+1) の係数が求まっているので、未知数少なくて係数比較はけっこう楽です。
これも練習問題を置いておきます。
(3) $\displaystyle\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}$
(4) $\displaystyle\frac{10}{(x+1)(x^2+9)}$

因数のn乗を含む形

なんと、微分が出てきます！
詳細は下の動画(YouTube)に任せます。けっこう面白いのでぜひ見てみてください。
部分分数分解を一瞬で片付ける荒技。20分で分かるヘビサイドの展開定理

おまけ

一番最初に「積分で」と書いたのは、シグマ計算での部分分数分解とは違うからです。
シグマ計算においては、「差分を作ること」が目的なので、3つ4つに分解してもしょうがないんですね。
最後にシグマ用の公式を紹介して終わります。

$$\rm\frac1{小大} = \frac1{大-小}\left(\frac1{小}-\frac1{大}\right)$$
$$\rm\frac1{小中大} = \frac1{大-小}\left(\frac1{小中}-\frac1{中大}\right)$$
ex) $\displaystyle\frac1{k(k+1)(k+2)} = \frac1{2}\left(\frac1{k(k+1)} - \frac1{(k+1)(k+2)}\right)$

練習問題の答え

1. $\displaystyle\frac3{x+1}-\frac1{x+2}$
2. $\displaystyle\frac2x-\frac6{x+1}+\frac5{x+2}$
3. $\displaystyle\frac1x+\frac{-\frac12}{x+1}+\frac{-\frac12x-\frac12}{x^2+1}$
4. $\displaystyle\frac1{x+1}+\frac{-x+1}{x^2+9}$

(練習問題には一部AIを使用しました)