高校数学解説

微分　問題②

高校数学,微分

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こんにちは、ベーコンです。
今日もみんな大好き微分です。
ぜひ最後まで読んでいってください。
また、間違い等があれば遠慮なくお申し付けください。
数学Ⅲ程度の知識を必要とします。

問題

$$ f(x)=2x-\sqrt{x^2-1}のグラフを書け $$

考えたい人用空白
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解説

・定義域
今回の問題は$\sqrt{x^2-1}$を含んでいるので定義域は
$x\leq{-1},1\leq{x}$。

・増減表
$ f'(x)=2-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}}\\ \\ $

$ ここで、\sqrt{x^2-1}\gt0であるから2\sqrt{x^2-1}-x=0を考える。\\ $

$ \quad 2\sqrt{x^2-1}=x\qquad (x\gt{0})\\ $
これを解くと
$ \quad x=\frac{2}{\sqrt{3}} $
以上より、増減表を書く。

$x$	・・・	-1		1	・・・	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	・・・
$f'(x)$	+	/		/	-	0	+
$f(x)$	↗	-2		2	↘	$\sqrt{3}$	↗

次に、極限値を考える
$ \lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty $
$ \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty $
最後に漸近線を考える。$ \lim_{x \to +\infty}f(x)-x=0 $
$ \lim_{x \to -\infty}f(x)-3x=0 $
つまり$f(x)$は$y=x$と$y=3x$を漸近線として持つ。
よってグラフは

となる

関数を書くときは
・定義域
・増減表
・$\lim_{x \to +\infty}f(x)と\lim_{x \to -\infty}f(x)$の極限
・不連続な点$x=a$に対して、$\lim_{x \to a+0}f(x)と\lim_{x \to a-0}f(x)$の極限
・漸近線
この5点を意識するとよいと思います。