高校数学解説

微分　問題②

高校数学,微分

238

こんにちは、ベーコンです。
今日もみんな大好き微分です。
ぜひ最後まで読んでいってください。
また、間違い等があれば遠慮なくお申し付けください。
数学Ⅲ程度の知識を必要とします。

問題

$f (x) = 2 x - \sqrt{x^{2} - 1} のグラフを書け$

考えたい人用空白
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓
↓

解説

・定義域
今回の問題は $\sqrt{x^{2} - 1}$ を含んでいるので定義域は
$x \leq - 1, 1 \leq x$ 。

・増減表
$f^{'} (x) = 2 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{2 \sqrt{x^{2} - 1} - x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

$ここで、 \sqrt{x^{2} - 1} > 0 であるから 2 \sqrt{x^{2} - 1} - x = 0 を考える。$

$2 \sqrt{x^{2} - 1} = x (x > 0)$
これを解くと
$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$
以上より、増減表を書く。

$x$	・・・	-1		1	・・・	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	・・・
$f^{'} (x)$	+	/		/	-	0	+
$f (x)$	↗	-2		2	↘	$\sqrt{3}$	↗

次に、極限値を考える
$lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$
$lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$
最後に漸近線を考える。 $lim_{x \to + \infty} f (x) - x = 0$
$lim_{x \to - \infty} f (x) - 3 x = 0$
つまり $f (x)$ は $y = x$ と $y = 3 x$ を漸近線として持つ。
よってグラフは

となる

関数を書くときは
・定義域
・増減表
・ $lim_{x \to + \infty} f (x) と lim_{x \to - \infty} f (x)$ の極限
・不連続な点 $x = a$ に対して、 $lim_{x \to a + 0} f (x) と lim_{x \to a - 0} f (x)$ の極限
・漸近線
この5点を意識するとよいと思います。