微分 問題②
こんにちは、ベーコンです。
今日もみんな大好き微分です。
ぜひ最後まで読んでいってください。
また、間違い等があれば遠慮なくお申し付けください。
数学Ⅲ程度の知識を必要とします。
問題
$$ f(x)=2x-\sqrt{x^2-1}のグラフを書け $$
考えたい人用空白
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解説
・定義域
今回の問題は$\sqrt{x^2-1}$を含んでいるので定義域は
$x\leq{-1},1\leq{x}$。
・増減表
$
f'(x)=2-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}}\\
\\
$
$ ここで、\sqrt{x^2-1}\gt0であるから2\sqrt{x^2-1}-x=0を考える。\\ $
$
\quad 2\sqrt{x^2-1}=x\qquad (x\gt{0})\\
$
これを解くと
$
\quad x=\frac{2}{\sqrt{3}}
$
以上より、増減表を書く。
| $x$ | ・・・ | -1 | 1 | ・・・ | $\frac{2}{\sqrt{3}}$ | ・・・ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | + | / | / | - | 0 | + | |
| $f(x)$ | ↗ | -2 | 2 | ↘ | $\sqrt{3}$ | ↗ |
次に、極限値を考える
$
\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty
$
$
\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty
$
最後に漸近線を考える。$
\lim_{x \to +\infty}f(x)-x=0
$
$
\lim_{x \to -\infty}f(x)-3x=0
$
つまり$f(x)$は$y=x$と$y=3x$を漸近線として持つ。
よってグラフは
となる
関数を書くときは
・定義域
・増減表
・$\lim_{x \to +\infty}f(x)と\lim_{x \to -\infty}f(x)$の極限
・不連続な点$x=a$に対して、$\lim_{x \to a+0}f(x)と\lim_{x \to a-0}f(x)$の極限
・漸近線
この5点を意識するとよいと思います。
最後に
最後まで読んでいただき、ありがとうございました。後二問ほど微分をやろうと思ってるのでよろしくお願いします。
追記
ミスを修正しました。申し訳ありません。
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