高校数学解説

関数方程式メーカー ①

関数方程式

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2023/10/12 17:42　解答の命題4に指摘を頂いたので，全体的に修正しました．

はじめに

久しぶりですね。あなたはそんなに久しぶりでもないですか？嬉しいですね。

今回は、「関数方程式メーカー」という simasima さん作の神診断で遊んでいたら、出てきた関数方程式が面白かったので、その解法を書こうと思います。やってることは単純です。

これです：関数方程式メーカー（このリンクは診断メーカーに飛びます）

問題

数式がきれいになったこと以外は原文ママです．３行目には「任意の実数 $x, y$ で」を補ってください．

TMO2049-6
$f : R \to R$
$f (y - f (2 f (x) + y)) + f (y + x) = y$

ここで最終的な主張を先に述べておきましょう．解なしです．以下でこれを示します．

解答

この手の解答は命題をたくさん作ると見やすくなりますよね．なのでそうします．

解答を通して，与えられた条件への代入を $P (x, y)$ と表記します．

$f$ は全射．

任意の $y$ に対して， $P (- y - f (0), y + f (0))$ より $f (a) = y$ となる $a$ が存在するので示された．

$f$ は単射．

$f (z) = f (w) = 0$ が成立すると， $P (z, w)$ と $P (w, z)$ を比べることで $z = w$ を得る．よって，命題1と合わせれば $f (t) = 0$ なる実数 $t$ がただ $1$ つ存在する．

$f (a) = f (b)$ かつ $a \neq b$ を仮定する． $P (a, y)$ および $P (b, y)$ から， $f (a + y) = f (b + y)$ が成立する．これは $f$ が周期 $a - b$ を持つことを示しているが，このとき上の事実に反する．よって $f (a) = f (b) ⟹ a = b$ となり，示された．

$f (0) = 0.$

$f (t) = 0$ なる唯一の $t$ を取る．
$P (t, 0)$ より $f (- f (0)) = 0$ を得るので， $t = - f (0) .$
$P (t, - t)$ より $f (f (0) - f (f (0))) = 0$ を得る．よって $f (0) - f (f (0)) = - f (0)$ すなわち $f (f (0)) = 2 f (0)$ である．
$P (0, t)$ を整理して $f (3 t) = t$ を得る．また， $P (t, t)$ から $f (2 t) = t$ を得る．
従って，命題2から $3 t = 2 t$ であるから， $t = 0.$ よって命題が示された．

$f (- f (2 x)) + x = 0.$

$P (x, 0)$ より $f (- f (2 f (x))) + f (x) = 0.$ 　命題1から結論が従う．

任意の $x$ に対して， $f (2 f (w) + x) = x$ となるような $w$ がただ $1$ つ存在します．
命題5,6での $w$ はこれを表すものとします．

$f (w + x) = x ， f (w) = w / 2.$

前半は $P (w, x)$ より従う．後半は，前半と単射性より $2 f (w) + x = w + x$ だから従う．

$w = - 2 f (x) - x .$

$P (- x, x)$ と命題5の前半，単射性より $w = - f (2 f (- x) + x)$ が従う．これを用いれば

$w / 2 = f (w) = f (- f (2 f (- x) + x)) = - (2 f (- x) + x) / 2$

を得るので，整理して示される．ここで，最後の等号は命題4による．

任意の $x$ で， $f (- 2 f (- x)) = x .$

命題5の前半に命題6を適用すればよい．

条件を満たす $f$ は存在しない．

$P (0, x)$ より， $f (x - f (x)) = x - f (x) .$
$P (x, - f (x))$ にこれを適用して， $f (- f (x) - f (f (x))) + x = 0.$
命題7と単射性から， $- 2 f (x) = - f (x) - f (f (x)) .$
$f$ は全射なので， $- 2 x = - x - f (x) .$
すなわち $f (x) \equiv x$ だが，これは与えられた条件を満たさない．よって示された．