関数方程式メーカー ①
2023/10/12 17:42 解答の命題4に指摘を頂いたので，全体的に修正しました．
はじめに
久しぶりですね。あなたはそんなに久しぶりでもないですか？嬉しいですね。
今回は、「関数方程式メーカー」という simasima さん作の神診断で遊んでいたら、出てきた関数方程式が面白かったので、その解法を書こうと思います。やってることは単純です。
これです： 関数方程式メーカー （このリンクは診断メーカーに飛びます）
問題
数式がきれいになったこと以外は原文ママです．３行目には「任意の実数 $x,y$ で」を補ってください．
TMO2049-6
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$
$f(y-f(2f(x)+y))+f(y+x)=y$
ここで最終的な主張を先に述べておきましょう．解なしです．以下でこれを示します．
解答
この手の解答は命題をたくさん作ると見やすくなりますよね．なのでそうします．
解答を通して，与えられた条件への代入を $P(x,y)$ と表記します．
$f$ は全射．
任意の $y$ に対して，$P(-y-f(0),y+f(0))$ より $f(a)=y$ となる $a$ が存在するので示された．
$f$ は単射．
$f(z)=f(w)=0$ が成立すると，$P(z,w)$ と $P(w,z)$ を比べることで $z=w$ を得る．よって，命題1と合わせれば $f(t)=0$ なる実数 $t$ がただ $1$ つ存在する．
$f(a)=f(b)$ かつ $a\neq b$ を仮定する．$P(a,y)$ および $P(b,y)$ から，$f(a+y)=f(b+y)$ が成立する．これは $f$ が周期 $a-b$ を持つことを示しているが，このとき上の事実に反する．よって $f(a)=f(b) \implies a=b$ となり，示された．
$f(0)=0.$
$f(t)=0$ なる唯一の $t$ を取る．
$P(t,0)$ より $f(-f(0))=0$ を得るので，$t=-f(0).$
$P(t, -t)$ より $f(f(0)-f(f(0)))=0$ を得る．よって $f(0)-f(f(0))=-f(0)$ すなわち $f(f(0))=2f(0)$ である．
$P(0,t)$ を整理して $f(3t)=t$ を得る．また，$P(t,t)$ から $f(2t)=t$ を得る．
従って，命題2から $3t=2t$ であるから，$t=0.$ よって命題が示された．
$f(-f(2x))+x=0.$
$P(x,0)$ より $f(-f(2f(x)))+f(x)=0.$ 命題1から結論が従う．
任意の $x$ に対して，$f(2f(w)+x)=x$ となるような $w$ がただ $1$ つ存在します．
命題5,6での $w$ はこれを表すものとします．
$f(w+x)=x，f(w)=w/2.$
前半は $P(w,x)$ より従う．後半は，前半と単射性より $2f(w)+x=w+x$ だから従う．
$w=-2f(x)-x.$
$P(-x,x)$ と命題5の前半，単射性より $w=-f(2f(-x)+x)$ が従う．これを用いれば
$w/2=f(w)=f(-f(2f(-x)+x))=-(2f(-x)+x)/2$
を得るので，整理して示される．ここで，最後の等号は命題4による．
任意の $x$ で，$f(-2f(-x))=x.$
命題5の前半に命題6を適用すればよい．
条件を満たす $f$ は存在しない．
$P(0,x)$ より，$f(x-f(x))=x-f(x).$
$P(x,-f(x))$ にこれを適用して，$f(-f(x)-f(f(x)))+x=0.$
命題7と単射性から，$-2f(x)=-f(x)-f(f(x)).$
$f$ は全射なので，$-2x=-x-f(x).$
すなわち $f(x)\equiv x$ だが，これは与えられた条件を満たさない．よって示された．
感想
ゴリラなので、長え！楽しい！！という感じです。$f(0)=0$ が非自明なのすごくないですか？
まだ関数方程式には不慣れなので、冗長だったかもしれません。何か、より簡単な解法があればコメントなどで知らせてくださると嬉しいです。
ではまた次の記事でお会いしましょう！
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