この記事では, 楕円超幾何級数の導入までを行う. 楕円超幾何級数を定義するために, まず楕円Pochhammer記号を導入する. $x,x_1,\dots,x_r\neq 0, |p|<1$として,
\begin{align}
\theta(x;p):=(x,p/x;p)_{\infty}, \theta(x_1,\dots,x_r;p):=\prod_{k=1}^r\theta(x_i;p)
\end{align}
と定義する. $\theta(x;p)$は$x$の関数としては本質的にテータ関数である. 楕円Pochhammer記号を以下のように定義する.
$0\leq n$に対し,
\begin{align}
(a;q,p)_n:=\prod_{k=0}^{n-1}\theta(aq^k;p)
\end{align}
とする. また, $n<0$に対し,
\begin{align}
(a;q,p)_n:=\frac 1{\prod_{k=0}^{-n-1}\theta(aq^{n+k};p)}
\end{align}
とする. そして, $(a_1,\dots,a_r;q,p)_n:=\prod_{k=1}^r(a_k;q,p)_n$と表す.
通常の$q$-Pochhammer記号は$(0;q)_n=1$となるが, 楕円Pochhammer記号においては一般に極限
\begin{align}
\lim_{a\to 0}(a;q,p)_n
\end{align}
が存在しないことに注意する必要がある. 楕円超幾何級数を扱う上で, まず楕円Pochhammer記号の扱えるようにしておくことが必要である. まず, $\theta(a;p)$は以下の等式を満たす.
\begin{align} \theta(a;p)&=\theta(p/a;p)=-a\theta(1/a;p)\\ \theta(a^2;p^2)&=\theta(a,-a;p)\\ \theta(ap^n;p)&=(-a)^{-n}p^{-\binom n2}\theta(a;p) \end{align}
上2つは定義から直ちに従う. 最後の等式は
\begin{align}
\theta(ap^n;p)&=(ap^n,p^{1-n}/a;p)_{\infty}\\
&=(a;p)_n^{-1}(p^{1-n}/a;p)_n(a,p/a;p)_{\infty}\\
&=(-a)^{-n}p^{-\binom n2}\theta(a;p)
\end{align}
と示される.
次に, 楕円Pochhammer記号の性質を示す.
整数$n,k$に対し,
\begin{align}
(a;q,p)_{n+k}&=(a;q,p)_n(aq^n;q,p)_k\\
(a;q,p)_n&=(q^{1-n}/a;q,p)_n(-a)^nq^{\binom n2}\\
(a;q,p)_{-n}&=\frac{(-q/a)^n}{(q/a;q,p)_n}q^{\binom n2}\\
(a;q,p)_{n-k}&=\frac{(a;q,p)_n}{(q^{1-n}/a;q,p)_k}\left(-\frac qa\right)^kq^{\binom k2-nk}\\
(a^2;q^2,p^2)_n&=(a,-a;q,p)_n\\
(a;q,p)_{2n}&=(a,aq;q^2,p)_n\\
(a;q,p^2)_{2n}&=(\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq};q,p)_n
\end{align}
1つ目は$q$-Pochhammer記号の場合と全く同様なので省略する. 2つ目は
\begin{align}
(a;q,p)_n&=\prod_{k=0}^{n-1}\theta(aq^k;p)\\
&=\prod_{k=0}^{n-1}\theta(aq^{n-1-k};p)\\
&=\prod_{k=0}^{n-1}(-aq^{n-1-k})\theta(q^{1-n+k}/a;p)\\
&=(-a)^{n}q^{\binom n2}(q^{1-n};q,p)_n
\end{align}
となって示される. 3つ目は$0< n$の場合に示せば十分であり, そのとき,
\begin{align}
(a;q,p)_{-n}&=\frac 1{\prod_{k=0}^{n-1}\theta(aq^{k-n};p)}\\
&=\frac 1{(aq^{-n};q,p)_n}
\end{align}
となるから2つ目の等式に帰着する. 4つ目の等式は1つ目と3つ目から出る. 5つ目以降の等式は$0\leq n$のとき,
\begin{align}
(a^2;q^2,p^2)_n&=\prod_{k=0}^{n-1}\theta(a^2q^{2k};p^2)\\
&=\prod_{k=0}^{n-1}\theta(aq^k,-aq^k;p)\\
&=(a,-a;q,p)_n\\
(a;q,p)_{2n}&=\prod_{k=0}^{2n-1}\theta(aq^k;p)\\
&=\prod_{k=0}^{n-1}\theta(aq^{2k},aq^{2k+1};p)\\
&=(a,aq;q^2,p)\\
(a;q,p^2)_{2n}&=(a,aq;q^2,p^2)_n\\
&=(\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq};q,p)_n
\end{align}
と示される. 3つ目の等式と表せれば$n<0$の場合も示される.
これらの等式は$q$-Pochhammer記号が満たすものと全く同じ形である. 次に楕円超幾何級数を定義する.
\begin{align}
{}_{r+5}V_{r+4}(a;b_1,\dots,b_r;q,p;z):=\sum_{0\leq n}\frac{\theta(aq^{2n};p)}{\theta(a;p)}\frac{(a,b_1,\dots,b_r;q,p)_n}{(q,aq/b_1,\dots,aq/b_r;q,p)_n}(zq)^n
\end{align}
特に,
\begin{align}
{}_{r+5}V_{r+4}(a;b_1,\dots,b_r;q,p):={}_{r+5}V_{r+4}(a;b_1,\dots,b_r;q,p;1)
\end{align}
と書く.
楕円超幾何級数は無限和の場合, 収束性の問題があるので, 基本的に有限和の場合が扱われる. $b_1,\dots,b_r$のうちのどれか一つが非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と書けるとき, この楕円超幾何級数はterminatingであるといい, そのとき有限和になる. 上の定義は, very-well-poisedな$q$超幾何級数の拡張である. Very-well-poisedでない楕円超幾何級数も考えられてはいるが, 楕円超幾何級数における最も基本的な公式であるFrenkel-Turaevの和公式がvery-well-poisedであるということもあって, 楕円類似は最初からvery-well-poisedで考えるのが良さそうである.