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楕円超幾何級数

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この記事では, 楕円超幾何級数の導入までを行う. 楕円超幾何級数を定義するために, まず楕円Pochhammer記号を導入する. $x, x_{1}, \dots, x_{r} \neq 0, | p | < 1$ として,
$\begin{array}{r} θ (x; p) := (x, p / x; p)_{\infty}, θ (x_{1}, \dots, x_{r}; p) := \prod_{k = 1}^{r} θ (x_{i}; p) \end{array}$
と定義する.　 $θ (x; p)$ は $x$ の関数としては本質的にテータ関数である. 楕円Pochhammer記号を以下のように定義する.

楕円Pochhammer記号

$0 \leq n$ に対し,
$\begin{array}{r} (a; q, p)_{n} := \prod_{k = 0}^{n - 1} θ (a q^{k}; p) \end{array}$
とする. また, $n < 0$ に対し,
$\begin{array}{r} (a; q, p)_{n} := \frac{1}{\prod_{k = 0}^{- n - 1} θ (a q^{n + k}; p)} \end{array}$
とする. そして, $(a_{1}, \dots, a_{r}; q, p)_{n} := \prod_{k = 1}^{r} (a_{k}; q, p)_{n}$ と表す.

通常の $q$ -Pochhammer記号は $(0; q)_{n} = 1$ となるが, 楕円Pochhammer記号においては一般に極限
$\begin{array}{r} lim_{a \to 0} (a; q, p)_{n} \end{array}$
が存在しないことに注意する必要がある.　楕円超幾何級数を扱う上で, まず楕円Pochhammer記号の扱えるようにしておくことが必要である. まず, $θ (a; p)$ は以下の等式を満たす.

$\begin{aligned} θ (a; p) & = θ (p / a; p) = - a θ (1 / a; p) \\ θ (a^{2}; p^{2}) & = θ (a, - a; p) \\ θ (a p^{n}; p) & = (- a)^{- n} p^{- (\binom{n}{2})} θ (a; p) \end{aligned}$

上2つは定義から直ちに従う. 最後の等式は
$\begin{aligned} θ (a p^{n}; p) & = (a p^{n}, p^{1 - n} / a; p)_{\infty} \\ = (a; p)_{n}^{- 1} (p^{1 - n} / a; p)_{n} (a, p / a; p)_{\infty} \\ = (- a)^{- n} p^{- (\binom{n}{2})} θ (a; p) \end{aligned}$
と示される.

次に, 楕円Pochhammer記号の性質を示す.

整数 $n, k$ に対し,
$\begin{aligned} (a; q, p)_{n + k} & = (a; q, p)_{n} (a q^{n}; q, p)_{k} \\ (a; q, p)_{n} & = (q^{1 - n} / a; q, p)_{n} (- a)^{n} q^{(\binom{n}{2})} \\ (a; q, p)_{- n} & = \frac{(- q / a)^{n}}{(q / a; q, p)_{n}} q^{(\binom{n}{2})} \\ (a; q, p)_{n - k} & = \frac{(a; q, p)_{n}}{(q^{1 - n} / a; q, p)_{k}} {(- \frac{q}{a})}^{k} q^{(\binom{k}{2}) - n k} \\ (a^{2}; q^{2}, p^{2})_{n} & = (a, - a; q, p)_{n} \\ (a; q, p)_{2 n} & = (a, a q; q^{2}, p)_{n} \\ (a; q, p^{2})_{2 n} & = (\sqrt{a}, - \sqrt{a}, \sqrt{a q}, - \sqrt{a q}; q, p)_{n} \end{aligned}$

1つ目は $q$ -Pochhammer記号の場合と全く同様なので省略する. 2つ目は
$\begin{aligned} (a; q, p)_{n} & = \prod_{k = 0}^{n - 1} θ (a q^{k}; p) \\ = \prod_{k = 0}^{n - 1} θ (a q^{n - 1 - k}; p) \\ = \prod_{k = 0}^{n - 1} (- a q^{n - 1 - k}) θ (q^{1 - n + k} / a; p) \\ = (- a)^{n} q^{(\binom{n}{2})} (q^{1 - n}; q, p)_{n} \end{aligned}$
となって示される. 3つ目は $0 < n$ の場合に示せば十分であり, そのとき,
$\begin{aligned} (a; q, p)_{- n} & = \frac{1}{\prod_{k = 0}^{n - 1} θ (a q^{k - n}; p)} \\ = \frac{1}{(a q^{- n}; q, p)_{n}} \end{aligned}$
となるから2つ目の等式に帰着する. 4つ目の等式は1つ目と3つ目から出る. 5つ目以降の等式は $0 \leq n$ のとき,
$\begin{aligned} (a^{2}; q^{2}, p^{2})_{n} & = \prod_{k = 0}^{n - 1} θ (a^{2} q^{2 k}; p^{2}) \\ = \prod_{k = 0}^{n - 1} θ (a q^{k}, - a q^{k}; p) \\ = (a, - a; q, p)_{n} \\ (a; q, p)_{2 n} & = \prod_{k = 0}^{2 n - 1} θ (a q^{k}; p) \\ = \prod_{k = 0}^{n - 1} θ (a q^{2 k}, a q^{2 k + 1}; p) \\ = (a, a q; q^{2}, p) \\ (a; q, p^{2})_{2 n} & = (a, a q; q^{2}, p^{2})_{n} \\ = (\sqrt{a}, - \sqrt{a}, \sqrt{a q}, - \sqrt{a q}; q, p)_{n} \end{aligned}$
と示される. 3つ目の等式と表せれば $n < 0$ の場合も示される.

これらの等式は $q$ -Pochhammer記号が満たすものと全く同じ形である. 次に楕円超幾何級数を定義する.

楕円超幾何級数

$\begin{array}{r} _{r + 5} V_{r + 4} (a; b_{1}, \dots, b_{r}; q, p; z) := \sum_{0 \leq n} \frac{θ (a q^{2 n}; p)}{θ (a; p)} \frac{(a, b_{1}, \dots, b_{r}; q, p)_{n}}{(q, a q / b_{1}, \dots, a q / b_{r}; q, p)_{n}} (z q)^{n} \end{array}$
特に,
$\begin{array}{r} _{r + 5} V_{r + 4} (a; b_{1}, \dots, b_{r}; q, p) :=_{r + 5} V_{r + 4} (a; b_{1}, \dots, b_{r}; q, p; 1) \end{array}$
と書く.

楕円超幾何級数は無限和の場合, 収束性の問題があるので, 基本的に有限和の場合が扱われる. $b_{1}, \dots, b_{r}$ のうちのどれか一つが非負整数 $N$ を用いて $q^{- N}$ と書けるとき, この楕円超幾何級数はterminatingであるといい, そのとき有限和になる. 上の定義は, very-well-poisedな $q$ 超幾何級数の拡張である. Very-well-poisedでない楕円超幾何級数も考えられてはいるが, 楕円超幾何級数における最も基本的な公式であるFrenkel-Turaevの和公式がvery-well-poisedであるということもあって, 楕円類似は最初からvery-well-poisedで考えるのが良さそうである.