特異点論入門〜これほど簡単な入門記事は多分ない〜part4

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有限決定性〜Finite Determinacy〜

お、お客さん。また来て下すったんですかい

いや〜、最近はお客さん少なくなっちゃってねェ...来てくれて嬉しいですよ俺ゃ
そりゃね、店開いた時は繁盛したんだけどねェ...
あっ、ははは、そんな大将なんて呼ばねェで下さいよ。古びた店のおっちゃんなモンで。シンさんって呼んでくださいよ
あ、これ。サービスです、良ければ召し上がってくだせェ

じゃァ、サービスついでに俺ん話を聞いてやってください
『有限決定性〜Finite Determinacy〜』

ジェットって聞いたことあります？

$f$ は収束冪級数なので、項が無限に連なります.では, $f$ に微分同相(これも冪級数)を合成してください！ってなったら、永遠に計算し続けないといけなくなります.なので、途中で作業を放棄止めるということを考えます.

k

-ジェット

$f \in E_{n}$ とする.
非負整数 $k \in Z_{\geq}$ に対して, $j^{k} : E_{n} \to E_{n} / m^{k + 1}$ :自然な射影を考える.
$j^{k} f := \bar{f} \in E_{n} / m^{k + 1}$ : $f$ の $k$ -ジェット( $k$ -th jet)という.

$m^{k + 1}$ は $k + 1$ 次の単項式で生成されるイデアルでした. $E_{n} / m^{k + 1}$ というのは $m^{k + 1}$ を $0$ と見なそうね！という意味なので,つまりは $f$ の $k + 1$ 次以上の項は切り捨てよう！ということになります.ランダウの記号を勉強した人はピンと来るかもしれません.

$f (x) = e^{x} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!} x^{i}$ の $k$ -ジェットは $j^{k} f = \sum_{i = 0}^{k} \frac{1}{i!} x^{i}$
$f (x, y, z) = x^{3} + y z^{2} + y^{4} + z^{5} + x^{2} y^{2} z^{2}$ の $4$ -ジェットは $j^{4} f = x^{3} + y z^{2} + y^{4}$

さて,関数のジェットを扱いましたね.写像のジェットも定義しましょう.
$E_{n, p}$ の部分加群 $E_{n, p}^{0}$ を $E_{n, p}^{0} := m E_{n, p}$ とします.

写像のジェット

$J^{k} (n, p) \overset{def}{=} E_{n, p}^{0} / m^{k} E_{n, p}^{0}$ : $k$ -ジェット空間( $k$ -th jet space)
$j^{k} : E_{n, p}^{0} \to J^{k} (n, p)$ :自然な射影
$j^{k} f \in J^{k} (n, p)$ : $k$ -ジェット( $k$ -th jet)

$J^{k} (n, p)$ は体 $K$ 上の商ベクトル空間と思えます.基底は ${x_{1}, \dots, x_{n}, \dots, x_{1}^{k}, \dots, x_{n}^{k}}$ : $k$ 次以下の単項式全体となります.

$j^{k} f$ は $E_{n}$ の元ではないが,「 $f$ の $k + 1$ 次以上の項を消しただけ」という意味で $j^{k} f$ が $E_{n}$ に含まれるとすることがある(言葉の濫用みたいなもの)(卒研のテキストで暗にコレされて最初「は？」ってなった)(多分そういう慣習があるんだと思う)

$j^{k} f = j^{k} g \Leftrightarrow f - g \in m^{k + 1}$

それはそう.

$f$ の $k$ -ジェット $j^{k} f$ は $f$ の近似として納得できると思います.また $k$ を大きくすれば大きくするほど,良い近似になることもわかると思います.

有限決定

さて,みなさんの中にはモヤモヤしている人もいるかもしれません.
え、それやっちゃっていいの？
ごもっともです。しかし私だってぐうの音は出ます！
気になる点を挙げると以下のよう。

途中で切っちゃっていいの？
どこまできっちゃっていいの？

確かにジェットすることによって, $R$ , $K$ -同値性が崩れてしまっては研究が台無しですしね！!

R

-有限決定

$f \in E_{n, p}^{0}$ とする.

$f$ : $k$ - $R$ -決定( $k$ - $R$ -determined) $\overset{def}{⟺}$ 任意の $j^{k} g = j^{k} f$ なる $g \in E_{n, p}^{0}$ について, $f \sim_{R} g$
$f$ : $R$ -有限決定( $R$ -finitely determined) $\overset{def}{⟺} \exists k \in Z_{\geq}$ s.t. $f$ : $k$ -決定

先ほどの質問を整理したような定義ですね。
「途中で切って同じなら,切る前のモノも $R$ -同値.つまり切っても全然問題ない！！」っていうのが有限決定です.
どこまで切り取ってもOKか？という疑問の答えは $k$ -決定の $k$ になるわけです.この $k$ のうち最小のものをオーダーといい, $O_{R} (f)$ で表します.

じゃあ全部有限決定なの？という疑問ももちろん生まれます.
結果から言うと,有限決定なものもあるし,そうじゃないのもあります.
じゃあその判定法は？
まず、簡単のため $p = 1$ とします。

その前に復習と準備

part2で接空間について説明したのは覚えているでしょうか？

$T R f = m J_{f}$

また $K_{n, p}$ と同様に考えることで,群作用 $R_{n} \times E_{n, p}^{0} \to E_{n, p}^{0};$ が考えられます.特にこの $R_{n}$ は $(K^{n}, 0)$ 上の微分同相全体です.ここで $R_{n} = E_{n, n}^{0}$ なので, $k$ -ジェットを考えることができます.
$R_{n}^{k} \overset{def}{=} j^{k} (R_{n})$ とします.簡単のため $n$ を省くこともあります.

$f \in m$ : $k$ -決定 $\Rightarrow T R f \supset m^{k + 1}$

$q = j^{k + 1, k} : J^{k + 1} (n, 1) \to J^{k} (n, 1)$ :自然な射影とする. $f$ : $k$ -決定ゆえ $q^{- 1} (j^{k} f) \subset R^{k + 1} \cdot j^{k + 1} f$
( $∵ q^{- 1} (j^{k} f)$ の元 $j^{k + 1} \tilde{f}$ は $j^{k} f = j^{k} \tilde{f}$ であるので, $k$ -決定性から $f \sim_{R} \tilde{f}$ )
この式の $j^{k + 1} f$ における接空間を両辺に取る.
$\begin{array}{r} \frac{m^{k + 1}}{m^{k + 2}} \subset \frac{m J_{f} + m^{k + 2}}{m^{k + 2}} \end{array}$
(これは左辺が $f$ の $k + 1$ 次部分を表し,右辺が $R_{n}$ -軌道の $k + 1$ -ジェットの接空間になります)
この不等式から $m^{k + 1} \subset m J_{f} + m^{k + 2}$ が得られるので,中山の補題から $T R f = m J_{f} \supset m^{k + 1}$

この補題で $k$ -決定の大枠がやっと見えてくる訳です.

そもそも接空間 $T R f$ は $f$ の $R$ 同値な微小変形なので,(切り取るという変形の意味する) $m^{k}$ を含めば、そりゃ切り取る前も $R$ -同値なものができそうだよな〜というのが私の中での落とし所です

$f \in m$ について以下が成り立つ

$T R f \supset m^{k + 1} \Leftrightarrow f$ :"強い" $k$ -決定
$m T R f \supset m^{k + 1} \Rightarrow f$ : $k$ -決定

"強い"ってなんなんだよ！！というクレームが入る前に定義を挟みましょう.
$J^{s} (u) \overset{def}{=} (j^{s, k - 1})^{- 1} (u) = u + Ker (j^{s, k - 1}) \subset J^{s} (n, 1)$
ただし, $u \in J^{k - 1} (n, 1)$

"強い"

k

-決定

$f \in m$ が"強い" $k$ -決定であるとは,
$J^{k} (j^{k - 1} f)$ 内の $j^{k} f$ のザリスキ近傍 $U (f)$ が存在して, $j^{k} g \in U (f)$ を満たす任意の $g \in m$ が $f$ と $R$ -同値であること

"強い" $k$ -決定ならば $k$ -決定
さらに $(k - 1)$ -決定ならば"強い" $k$ -決定

$f \in m$ を"強い" $k$ -決定とする. $j^{k} g = j^{k} f$ なる $g \in m$ をとると, $j^{k} g = j^{k} f \in U (f)$ ゆえ, $g \sim_{R} f$
$f \in m$ を $(k - 1)$ -決定とする.
$U (f) = J^{k} (j^{k - 1} f)$ とすると, $j^{k} g \in U (f)$ は $j^{k - 1} g = j^{k - 1} f$ ゆえ, $g \sim_{R} f$

この命題から"強い"たる由縁が伺えます.実はこの"強い"ヤツがめちゃめちゃ大事なんです！！(っていうのは定理3をみれば明らか)
定理3を用いれば有限決定かどうか分かる上に、オーダーすら分かりうるわけです！！
(ちなみに私の使用してるテキストには"strongly $k$ -th determinant"って書いているのですが,和訳は知らないので"強い"って呼んでます)

しかし、この定理を証明なのですが、、、すみません！！！複素の場合だけしか示しません！！理由はちょっと面白い補題を使うからです.ただ多少遠回し感が否めませんが、、、

Artinの近似定理

$Y (X) \in C [[X]]^{p}$ を方程式系 $S : F (X, Y) = 0$ (ただし $F (X, Y) \in C {X, Y}^{q}$ )の形式的冪級数としての解とする.
このとき,任意の正整数 $k \geq 1$ に対して収束冪級としての $S$ の解 $Y^{k} (X) \in C {X}^{p}$ が存在して, $j^{k} Y^{k} (X) = j^{k} Y (X)$ を満たす

$p$ 個の方程式に形式的な解があれば,収束的に出来るっていう定理です！！そもそも収束と形式の違いがわからなければ嬉しくないですよね...私がこの手であなたを嬉しくして差し上げます！！
(誤解を恐れずにいうと)形式的冪級数は"グラフ的に"意味を持つとは限りません.収束冪級数環はTaylor展開された関数全体と考えると"グラフ的に"意味ありますよね.具体例を見て形式的と収束的の差を実感しましょう！

$\begin{array}{r} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n} \end{array}$ という形式的冪級数はダランベールの判定法から $lim_{n \to \infty} | \frac{n!}{(n + 1)!} | = lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n + 1)} = 0$ から収束半径は0であるので,どんな原点近傍でも収束しない.