初投稿です

この記事には多くの誤字脱字、冗長な表現があると思いますが、なにせ私はブログを書くのも初めて、しかも初投稿なので大目に見ていただけると助かります。

自己紹介

”こんにちは”
いきなり自己紹介と銘打ってしまいましたが、そこまで中身のない人生を歩んできたもので、書くことも思いつきません。なので定型に従って軽く書いてしまいます。

プロフィール

年齢:おそらく16歳 高校生です
趣味:ゲーム(FPSとか音ゲーとか時間を少しかければ確実に成果がでるもの)、アニメ(ストーリーが面白ければなんでも)、読書(ストーリー重視)、数学の問題を解いてホクホクすること
興味のある分野:数学史、世界史、数学(統計学とか経済分野のもの以外は基本好き)
ここでやりたいこと:
現在高2であり、進路やその後の職業などに悩んでいます。数学を研究したい気持ちはありますが、数学者になる道は狭き門であり、安定をとるならばプログラムや教職などの道に進むのが良いのかもしれないとも思います。このブログで自身を客観的に見つめなおし、今後の進路について考えたいです。
今後やりたいこと:
数学科に入ることで一度は数学についてより深く学びたいと思っています。勿論研究も行いたいですが、自身の能力に不安があります。

最近思いついたもの・探求したいもの

やっと自己紹介終わりました。もっとすっきり書きたかったんですが、自分のなかであまり整理のついていないことを中心に書いてしまったせいで変に長い文章になってしまいました。ここからは最近思いついたものや考えたいものを書いていきます。

奇麗な展開

以下は私が下校中の電車で両サイドをカップルに挟まれ地獄の思いをしていたときに思いついた展開です。
$a\neq1$,$a\in\mathbb{R}$
$$ (a^{n}+a^{n-1}+\cdots+a^{1}+a^{0}+a^{-1}+\cdots+a^{-n+1}+a^{-n})^{2}=a^{2n}+2a^{2n-1}+\cdots+2na^{1}+(2n+1)a^{0}+2na^{-1}+\cdots+2a^{-2n+1}+a^{-2n}$$
奇麗ですね！指数がnから-nまでをとる多項式を2乗すると、降べきの順に並べたときに初項から自然数が1づつ増え、指数が0になるところで折り返し、また1づつ減っていく。簡単にわかることとは思いますが、これは指数が降べきの順に1づつ下がっていれば、nから-nのように無理に奇麗な形をとらずとも、3nから2nのようにしても問題ありません。詳しくは下の説明を見ればわかります。

勿論これを見つけたとき、なぜこのように値をとるのかを考えてみました。以下がそのときの考え方です
まず最初に多項式の2乗を簡単に表すため、多項式×多項式として表示します。
$a^{n}$+$a^{n-1}$+$\cdots$+$a^{1}$+$a^{0}$+$a^{-1}$+$\cdots$+$a^{-n+1}$+$a^{-n}$$\cdots$①
$a^{-n}$+$a^{-n+1}$+$\cdots$+$a^{-1}$+$a^{0}$+$a^{1}$+$\cdots$+$a^{n-1}$+$a^{n}$$\cdots$②
上記の数式において、$a^{2n}$を考えてみると、これは①の一番左の項と②の一番右の項をかけたもののみです。次に$a^{2n-1}$を考えてみると、これは①式の一番左の項と②式の一番右から一つ左の項をかけたもの、そして、①、②において前に示した項の組のそれぞれ一つ右の項を掛け合わせたものとなります。つまり係数は2ですね。このように考えると、展開後の式のすべての項の係数がわかります。実際にやってみるとわかりやすいですが、この表示を考えれば、係数が連続する自然数をとることがわかります。

ハイ　これはちょっと証明とは言えませんね。しかし、この考え方を応用すると少し面白いことがわかります。最初の式に戻りましょう。
($a^{n}$+$a^{n-1}$+$\cdots$+$a^{1}$+$a^{0}$+$a^{-1}$+$\cdots$+$a^{-n+1}$+$a^{-n}$)$^{2}$
これを4乗にしてしまいます。すると前述の説明からそのときの各項の係数は自然数の平方の総和となります。
こうなってくると3乗を計算してみたいところですが、これは説明における①式と②式の長さが等しくなくなってしまうため、わかりやすい規則性がなくなってしまいます。このことから規則性が維持されるものとして多項式の$2^{n}$乗が挙げられ、これは各項の係数が、多項式の$2^{n-1}$乗の各項の係数を2乗し、総和したものとなります。

この等式は実はaの指数が等間隔で減少する多項式であれば成立します。（説明において使った手法から再帰的にわかります）つまり、
($3x^{5}$+$3x^{3}$+$3x^{1}$+$3x^{-1}$)$^{2}$
のような式であれば全て展開を行わずとも、機械的に1,2,3と係数を求めることができます。

最後に

危惧していた通り、全体的に冗長な文章となってしまいました。初投稿ということで許していただきたいです。今回記事を書いた主目的は、mathlogを閲覧、また投稿される方にこの記事を見ていただき、自身の浅い考察をさらに深めていただく、新たなアイデアをいただくこと。可能ならば、数学の探究をしていらっしゃる先輩方から自身の今後の人生に関わるヒントを得ることです。ですので、ご意見などいただけると幸いです。また、今後も不定期に投稿していこうと思っているので、暇なときにでも見ていってください