数遊びをしているうちに見つけた、けれども何かに使えるわけでもない奇妙な数式を、供養のため、得次第つらつらと書きつらねていきます。面白そうなものがありましたら、是非使って下さい。腕に自信のある方は、導出もどうぞ。
cot(x)=1x−∑n=1∞tan(x2n)2n
ボツ理由ヴィエトの無限積の対数微分で得られることを、他の面倒な方法による導出後に気づき、萎えた。ボツ理由:ヴィエトの無限積の対数微分で得られることを、他の面倒な方法による導出後に気づき、萎えた。
cot(x)=1x−4∑n=1∞13nsin(2x3n)2cos(2x3n)+1=1x−8∑n=1∞13ntan(x3n)3−tan(x3n)2
ボツ理由そんなにきれいじゃない。ボツ理由:そんなにきれいじゃない。
cot(x)=1x−∑n=1∞tan(x4n)4n⋅3cos(2x4n)+2cos(2x4n)=1x−∑n=1∞tan(x4n)4n⋅5−tan2(x4n)1−tan2(x4n)ボツ理由ずっと同じ形で芸がない。ボツ理由:ずっと同じ形で芸がない。
4π=1+∑n=1∞1mn⋅tan(π4mn−1)−mtan(π4mn)tan(π4mn−1)tan(π4mn)(m>1)ボツ理由の値は一応半角公式を用いて得られるものの、労力の割には収束速度がそこまで早くない。はのべき乗にすると良い。ボツ理由:tanの値は一応半角公式を用いて得られるものの、労力の割には収束速度がそこまで早くない。mは2のべき乗にすると良い。
∑n=2∞nsin(1n)+(n2−1)sin(1n2−1)cos(nn2−1)n3−n=1sin12+12sin12ボツ理由タイトルの通り。ボツ理由:タイトルの通り。
は番目の調和数は多重対数関数∑n=1∞Hnns=−∫01ln(1−x)Lis−1(x)xdxHnはn番目の調和数,Lis−1は多重対数関数ボツ理由の場合にゼータ関数の値の有理数倍で表せることに気づいたものの、既に知られている結果だったため。ボツ理由:s=2,3の場合にゼータ関数の値の有理数倍で表せることに気づいたものの、既に知られている結果だったため。
∑k=0n−1(2kk)(2(n−k−1)n−k−1)n−k=12(2nn)ボツ理由二項係数について組み合わせによらない定義を出来るものの、別にいらない。ボツ理由:二項係数について組み合わせによらない定義を出来るものの、別にいらない。
∑n=1∞(2nn+1)4n⋅n=1ボツ理由映えない。ボツ理由:映えない。
Hn=∑k=0n−1(nk)(−1)n−kn−kボツ理由使いどころがない。ボツ理由:使いどころがない。
Hn=∑k=1∞(−1)k−1k(nk)ボツ理由上に同じ。ボツ理由:上に同じ。
∑n=1∞(−1)n−1n(xn)∑k=0n−11x−k=∑n=1∞1(n+x)2ボツ理由が整数の時、左辺が途中からおかしくなってしまう。ボツ理由:xが整数の時、左辺が途中からおかしくなってしまう。
∑n=1∞rn(n+a)(n+b)=rb−a∫01ta−tb1−rtdt(|r|≤1, a,b>−1, a≠b)ボツ理由右辺のいい積分が思いつかない。ボツ理由:右辺のいい積分が思いつかない。
∑n=0∞∑k=1∞(−1)k−1k(k⋅2n+1+1)=2−2ln2ボツ理由ごちゃごちゃしているし、収束が遅い。ボツ理由:ごちゃごちゃしているし、収束が遅い。
∑n=2∞∑k=1∞12nnk=∑k=1∞∑n=2∞12nnk=12ln2ボツ理由収束が遅い。割と自明。ボツ理由:収束が遅い。割と自明。
∑n=2∞(−1)n(n−1)2nζ(n)=π28−1∑n=2∞(−1)n2nζ(n)=1−ln2
ボツ理由ゼータ関数を級数の形にしてしまえば簡単に求められてしまう。初めの導出方法は面倒だったこともあって、残念。ボツ理由:ゼータ関数を級数の形にしてしまえば簡単に求められてしまう。初めの導出方法は面倒だったこともあって、残念。
∫−π/2π/2|θ|1+atanθdθ=π28(a>0)ボツ理由見た目のインパクトのみで、実際には簡単に解けてしまうし、使い道がないため。ボツ理由:見た目のインパクトのみで、実際には簡単に解けてしまうし、使い道がないため。
∫0π/2(ln(tanx)sinxcos2x)2dx=(π2)2ボツ理由乗がない場合にになればそれは美しかっただろうに、発散してしまう。現実は非情である。ボツ理由:2乗がない場合にπ/2になればそれは美しかっただろうに、発散してしまう。現実は非情である。
∫011−x2ln(1−t1+t)dt=1−2Gボツ理由カタランの定数は積分表示が沢山あるから。ボツ理由:カタランの定数は積分表示が沢山あるから。
∫0π/4ln(cosθ)cos2θ−ln(sinθ)sin2θsinθcosθdθ=(ln22)2ボツ理由ごちゃごちゃしてる。ボツ理由:ごちゃごちゃしてる。
∫0π/2sin(tanx)tanxdx=∫0∞sinuu(1+u2)du=π2(1−1e)=0.99293...ボツ理由二番目の形で、値の予想がすぐついてしまう。ボツ理由:二番目の形で、値の予想がすぐついてしまう。
∫−11arccos(x)1+x2dx=(π2)2ボツ理由すぐ計算できる。ボツ理由:すぐ計算できる。
∫01ln(Γ(x+t)2π)dt=∫0xlntdtボツ理由ここからどう発展させるか思い浮かばなかった。ボツ理由:ここからどう発展させるか思い浮かばなかった。
∫−∞∞cos(x)e−x2dx=π2e4ボツ理由結構重要な積分らしいので。ボツ理由:結構重要な積分らしいので。
∫0∞1+x21+exdx=ln(2)+32ζ(3)ボツ理由別にこの形で無理数かどうか分かるわけでないので。ボツ理由:別にこの形で無理数かどうか分かるわけでないので。
∑n=2∞(−1)nln(n)n=γln2−12ln22
ボツ理由上に同じ。ボツ理由:上に同じ。
∑n=1∞∑k=0∞(−1)kk+2n=γボツ理由既知。収束が遅い。ボツ理由:既知。収束が遅い。
∏n=1∞(1−1(4n−1)2(2n+1))n=24e−Gπボツ理由よく知られた式をこねくり回しただけだから。右辺はそもそも超越数か分かっていない(はず)。ボツ理由:よく知られた式をこねくり回しただけだから。右辺はそもそも超越数か分かっていない(はず)。
10(1sin(0.5)+0.5sin(1))=9.001610...
e2ln(76)=32.0000313...
ln(147+2)=5.0000071...
exp(4390)=92.999859...283464+2693424564+32043=3.00000077...831+1449433π=1.000000108...7−arctan(1−442−1482)2π=1.000049...ボツ理由数学的面白さが自分には見つけられなかった。ボツ理由:数学的面白さが(自分には)見つけられなかった。
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