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ボツ数式の墓場

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数遊びをしているうちに見つけた、けれども何かに使えるわけでもない奇妙な数式を、供養のため、得次第つらつらと書きつらねていきます。
面白そうなものがありましたら、是非使って下さい。腕に自信のある方は、導出もどうぞ。

級数

余接関数の三角関数級数表示その1

cot(x)=1xn=1tan(x2n)2n

:

余接関数の三角関数級数表示その2

cot(x)=1x4n=113nsin(2x3n)2cos(2x3n)+1=1x8n=113ntan(x3n)3tan(x3n)2

:

余接関数の三角関数級数表示その3

cot(x)=1xn=1tan(x4n)4n3cos(2x4n)+2cos(2x4n)=1xn=1tan(x4n)4n5tan2(x4n)1tan2(x4n)
:

この級数のメモ以下のように一般化できる。 cotx=1xn=11mnmTm(cos(xmn))+Um1(cos(xmn))cos(xmn)Um1(cos(xmn))sin(xmn)Tm(x),Um(x)
あるいは、tanm分の1倍角を繰り返し求め、1xcot(x)=n=11mntan(π4mn1)mtan(π4mn)tan(π4mn1)tan(π4mn)ともできる。
円周率

4π=1+n=11mntan(π4mn1)mtan(π4mn)tan(π4mn1)tan(π4mn)(m>1)
:tanm2

ごちゃごちゃ

n=2nsin(1n)+(n21)sin(1n21)cos(nn21)n3n=1sin12+12sin12
:

調和数の合成和

n=1Hnns=01ln(1x)Lis1(x)xdxHnn調,Lis1
:s=2,3

中心二項係数の漸化式的定義

k=0n1(2kk)(2(nk1)nk1)nk=12(2nn)
:

中心(に近い)二項係数の和

n=1(2nn+1)4nn=1
:

二項係数と調和数 その1

Hn=k=0n1(nk)(1)nknk
:使

二項係数と調和数 その2

Hn=k=1(1)k1k(nk)
:

一般二項係数

n=1(1)n1n(xn)k=0n11xk=n=11(n+x)2
:x

等比×全部消えるやつ

n=1rn(n+a)(n+b)=rba01tatb1rtdt(|r|1, a,b>1, ab)
:

二重和その1

n=0k=1(1)k1k(k2n+1+1)=22ln2
:

二重和その2

n=2k=112nnk=k=1n=212nnk=12ln2
:

リーマンゼータ関数

n=2(1)n(n1)2nζ(n)=π281
n=2(1)n2nζ(n)=1ln2

:

積分

対称性を利用する積分

π/2π/2|θ|1+atanθdθ=π28(a>0)
:使

2年生の夢未遂

0π/2(ln(tanx)sinxcos2x)2dx=(π2)2
:2π/2

カタランの定数

011x2ln(1t1+t)dt=12G
:

夢で出てきた積分(笑)

0π/4ln(cosθ)cos2θln(sinθ)sin2θsinθcosθdθ=(ln22)2
:

ほとんど1

0π/2sin(tanx)tanxdx=0sinuu(1+u2)du=π2(11e)=0.99293...
:

逆三角関数

11arccos(x)1+x2dx=(π2)2
:

ガンマ関数

01ln(Γ(x+t)2π)dt=0xlntdt
:

ガウス積分×三角関数

cos(x)ex2dx=π2e4
:

アペリーの定数

01+x21+exdx=ln(2)+32ζ(3)
:

オイラーのガンマその1

n=2(1)nln(n)n=γln212ln22

:

オイラーのガンマその2

n=1k=0(1)kk+2n=γ
:

この級数のメモ以下のように一般化できる。
n=1k=0(j=1m1mk+mn+jmmk+mn+m)=1γ(m2)
例えば、
n=1k=0(13k+3n+1+13k+3n+223k+3n+3)=1γなど。


無限積

有理数の掛け算で超越数(仮)

n=1(11(4n1)2(2n+1))n=24eGπ
:

ほとんど整数

10(1sin(0.5)+0.5sin(1))=9.001610...

e2ln(76)=32.0000313...

ln(147+2)=5.0000071...

exp(4390)=92.999859...
283464+2693424564+32043=3.00000077...
831+1449433π=1.000000108...
7arctan(14421482)2π=1.000049...
:()

投稿日:2024914
更新日:2024921
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