ピタゴラス数を求める

曲線は幾何学的に興味深いものだが、算術的あるいは代数的な情報を含んでいることもある。座標が有理数、実数、複素数である曲線上の各点について考えることになる。また、これとは少し違った流れで、合同数とピタゴラス数との関連についても考える。

単位円: 実数 vs 有理数

$x^2+y^2=1$という方程式を考える時、各々の点$(x,y)$は$\theta \in [0, 2\pi)$上の$(cos \theta, sin \theta)$という形式を持つ。
これは実部について考えるときは理にかなっているが、有理数についてはどうだろうか。有理点$\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$について代入すれば、$$\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{d}\right)^2=1$$と表せるので、変形すれば、$$(ad)^2+(bc)^2=(bd)^2$$である。これは単位円上の有理点$\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$が、$x^2+y^2=z^2$の整数解に対応しているということである。逆に、$A,B,C \in \mathbb{Z}, C \neq 0$において$A^2+B^2=C^2$であるなら、単位円上の有理点$(A/C, B/C)$に対応していると言える。

単位円上の有理点のパラメータ化

$L_t$が$(-1, 0)$と$(0,t)$を通る直線であるとすると、$y=t(x+1)$と示せる。もし$(a,b)$が単位円と直線の交差点であるなら、$$b=t(a+1), a^2+b^2=1$$$$1-a^2=b^2=t^2(a+1)^2$$ $$1-a^2=(1-a)(1+a)=t^2(1+a)^2$$$$1-a=t^2(1+a)$$ $$a(t^2+1)=1-t^2$$ $$a = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$b = t(1+a)=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$(a, b) = \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right)$$ここで、$t \in \mathbb{R}$において、
$$\lim_{t \rightarrow \pm \infty}\left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right) = (-1, 0)$$ これにより、単位円上のすべての点について特徴付けることができる。有理点については、$t = \frac{b}{a+1}$ したがって、$(a, b)$が単位円上の有理点であれば、傾きtは有理数であることは自明である。

すべてのピタゴラス数を見つける

これまでの数式を使ってピタゴラス数をすべて見つける。正の整数$A,B,C$があり、$A^2+B^2=C^2$について調べる。例えば、もし$A,B,C$が公約数$t$を持つなら、$A=A_0t,B=B_0t, C=C_0t, A_0,B_0,C_0 \in \mathbb{Z}$よって$$A^2+B^2=C^2 \implies A^2_0t^2 + B^2_0t^2=C^2_0t^2 \implies A^2_0+B^2_0=C^2_0$$ ここで、$A,B,C$が公約数を持つ時、$\gcd(A,B,C)=1$で表す。ここで、パラメータ化された式が$t=m/n$と有理数で表されるなら、$$a=A/C=\frac{n^2-m^2}{n^2+m^2}, b=B/C=\frac{2mn}{n^2+m^2}$$

アルゴリズムとしては以下のようになる。

      for n in range(2, 6):
    for m in range(1, n):
        if gcd(m,n) == 1:
            A = n**2 - m**2
            B = 2*m*n
            C = n**2 + m**2
            Area = int(A*B/2)
            congruent = squarefree(Area)
            print(f"(m,n)=({m},{n})")
            print(f"(A,B,C)=({A},{B},{C})")
            print(congruent)