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ピタゴラス数を求める

曲線は幾何学的に興味深いものだが、算術的あるいは代数的な情報を含んでいることもある。座標が有理数、実数、複素数である曲線上の各点について考えることになる。また、これとは少し違った流れで、合同数とピタゴラス数との関連についても考える。

単位円: 実数 vs 有理数

$x^{2} + y^{2} = 1$ という方程式を考える時、各々の点 $(x, y)$ は $θ \in [0, 2 π)$ 上の $(c o s θ, s i n θ)$ という形式を持つ。
これは実部について考えるときは理にかなっているが、有理数についてはどうだろうか。有理点 $(\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ について代入すれば、 ${(\frac{a}{b})}^{2} + {(\frac{c}{d})}^{2} = 1$ と表せるので、変形すれば、 $(a d)^{2} + (b c)^{2} = (b d)^{2}$ である。これは単位円上の有理点 $(\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$ が、 $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ の整数解に対応しているということである。逆に、 $A, B, C \in Z, C \neq 0$ において $A^{2} + B^{2} = C^{2}$ であるなら、単位円上の有理点 $(A / C, B / C)$ に対応していると言える。

単位円上の有理点のパラメータ化

$L_{t}$ が $(- 1, 0)$ と $(0, t)$ を通る直線であるとすると、 $y = t (x + 1)$ と示せる。もし $(a, b)$ が単位円と直線の交差点であるなら、 $b = t (a + 1), a^{2} + b^{2} = 1$ $1 - a^{2} = b^{2} = t^{2} (a + 1)^{2}$ $1 - a^{2} = (1 - a) (1 + a) = t^{2} (1 + a)^{2}$ $1 - a = t^{2} (1 + a)$ $a (t^{2} + 1) = 1 - t^{2}$ $a = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$ $b = t (1 + a) = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$ $(a, b) = (\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \frac{2 t}{1 + t^{2}})$ ここで、 $t \in R$ において、
$lim_{t \to \pm \infty} (\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \frac{2 t}{1 + t^{2}}) = (- 1, 0)$ これにより、単位円上のすべての点について特徴付けることができる。有理点については、 $t = \frac{b}{a + 1}$ したがって、 $(a, b)$ が単位円上の有理点であれば、傾きtは有理数であることは自明である。

すべてのピタゴラス数を見つける

これまでの数式を使ってピタゴラス数をすべて見つける。正の整数 $A, B, C$ があり、 $A^{2} + B^{2} = C^{2}$ について調べる。例えば、もし $A, B, C$ が公約数 $t$ を持つなら、 $A = A_{0} t, B = B_{0} t, C = C_{0} t, A_{0}, B_{0}, C_{0} \in Z$ よって $A^{2} + B^{2} = C^{2} ⟹ A_{0}^{2} t^{2} + B_{0}^{2} t^{2} = C_{0}^{2} t^{2} ⟹ A_{0}^{2} + B_{0}^{2} = C_{0}^{2}$ ここで、 $A, B, C$ が公約数を持つ時、 $gcd (A, B, C) = 1$ で表す。ここで、パラメータ化された式が $t = m / n$ と有理数で表されるなら、 $a = A / C = \frac{n^{2} - m^{2}}{n^{2} + m^{2}}, b = B / C = \frac{2 m n}{n^{2} + m^{2}}$

すべてのピタゴラス数 $A, B, C$ について、 $n > m$ となる正の整数について、以下の形式を持つ。 $A = n^{2} - m^{2}, B = 2 m n, C = n^{2} + m^{2}$

アルゴリズムとしては以下のようになる。

      for n in range(2, 6):
    for m in range(1, n):
        if gcd(m,n) == 1:
            A = n**2 - m**2
            B = 2*m*n
            C = n**2 + m**2
            Area = int(A*B/2)
            congruent = squarefree(Area)
            print(f"(m,n)=({m},{n})")
            print(f"(A,B,C)=({A},{B},{C})")
            print(congruent)