初投稿（楕円軌道上を等速度運動する点について！！？？）

質量を$m$, 速さを$v$とし, 楕円軌道を定数$a,b$と媒介変数$\theta$で$(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$とおく. $\theta$に対応する速度ベクトル, 加速度ベクトル, 力ベクトルをそれぞれ$\vect{v(\th)},\vect{\alpha(\th)},\vect{F(\th)}$とおく. $\dfrac{dx}{d\th}=-a\sin\th,\ \dfrac{dy}{d\th}=b\cos\th$より$$L=\int\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\int_0^{2\pi}\sqrt{(a\sin\th)^2+(b\cos\th)^2}\ d\th$$とできる. ここで$h(x)=\sqrt{(a\sin x)^2+(b\cos x)^2}$とおき, $\displaystyle H(x)=\int_0^xh(u)\ du$を定義する.
任意に一つ$\th$をとり, $\dd t$の時間の間に$\th\to\dd\th$と変化したとする. このとき$\dd t$と$\dd\th$の間には$\displaystyle v\cdot\dd t=\int_\th^{\th+\dd\th}h(u)\ du=H(\th+\dd\th)-H(\th)$という関係が成立している.
運動方程式より$\vect{F(\th)}=m\cdot\vect{\alpha(\th)}=m\cdot\left(\vect{v(\th+\dd\th)}-\vect{v(\th)}\right)\cdot\dfrac{1}{\dd t}$であり, $\vect{v(\th)}=v\cdot\left(\dfrac{dx}{d\th}\cdot\dfrac{1}{h(\th)},\dfrac{dy}{d\th}\cdot\dfrac{1}{h(\th)}\right)$なので$\vect{F(\th)}$の$x$成分について考えると$$\begin{aligned} \vect{F(\th)}_x &= mv\cdot\dfrac{-\frac{a\sin(\th+\dd\th)}{h(\th+\dd\th)}+\frac{a\sin\th}{h(\th)}}{\frac{1}{v}\cdot(H(\th+\dd\th)-H(\th))}\\ &=-amv^2\cdot\dfrac{\frac{\sin(\th+\dd\th)}{h(\th+\dd\th)}-\frac{\sin\th}{h(\th)}}{\dd\th}\cdot\dfrac{\dd\th}{H(\th+\dd\th)-H(\th)}\\ &=-amv^2\cdot\dfrac{\cos\th\cdot h(\th)-\sin\th\cdot h^\prime(\th)}{h(\th)^2}\cdot\dfrac{1}{h(\th)}\quad(商の微分より)\\ &=-\dfrac{abmv^2}{h(\th)^4}\cdot b\cos\th \end{aligned}$$
$y$成分も同様に計算することで$\vect{F(\th)}=\dfrac{abmv^2}{h(\th)^4}\cdot(-b\cos\th,-a\sin\th)$とわかる.
初めの時刻を$0$として時刻$t$のときを考える. $t$と$\th$の関係は$vt=H(\th)\Longleftrightarrow \th=H^{-1}(vt)$とできるので力の大きさの平均$\overline{F}$は$\displaystyle\overline{F}=\dfrac{v}{L}\int_0^{\frac{v}{L}}\left\lvert\vect{F(H^{-1}(vt))}\right\rvert\ dt$と表すことができる. $t=\dfrac{H(\th)}{v}$と置換すると$$\overline{F}=\dfrac{v}{L}\int_0^{2\pi}\left\lvert\vect{F(\th)}\right\rvert\cdot\dfrac{h(\th)}{v}\ d\th =\dfrac{abmv^2}{L}\int_0^{2\pi}\dfrac{d\th}{(a\sin\th)^2+(b\cos\th)^2}$$ここで一般に$$\int\dfrac{d\theta}{(a\sin\theta)^2+(b\cos\theta)^2}=\dfrac{1}{ab}\tan^{-1}\left(\dfrac{a}{b}\tan\theta\right)+C\ (Cは積分定数)$$であるので,$$\overline{F}=\dfrac{abmv^2}{L}\cdot 4\cdot\dfrac{1}{ab}\left(\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\tan^{-1}\left(\dfrac{a}{b}\tan\theta\right)\right)=\dfrac{2\pi mv^2}{L}$$