名古屋大2008前期理系第4問(a)(1)

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次の問いに答えよ．
（１） $3 x + 2 y ≦ 2008$ をみたす0以上の整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ．
（２） $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} ≦ 10$ をみたす0以上の整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ．

「重複組合せ」の問題として解きました．
あるK塾講師の反応：「やれるのか？！」
あるs台講師の反応：「マニアックなっ！」
でした．
　とくに断らない限り文字はすべて0以上の整数とする．
（１） $x = 2 X + i, y = 3 Y + j$ とおく．
ただし， $i = 0, 1$ ， $j = 0, 1, 2$ とする．
与えられた不等式は，
$3 (2 X + i) + 2 (3 Y + j) ≦ 2008$
$X + Y ≦ \frac{2008 - 3 i - 2 j}{6}$
ここで，床関数 $[x]$ を使って，
$X + Y ≦ [\frac{2008 - 3 i - 2 j}{6}]$
$[\frac{2008 - 3 i - 2 j}{6}] = 333 + [\frac{10 - 3 i - 2 j}{6}]$
$N (i, j) := 333 + [\frac{10 - 3 i - 2 j}{6}]$
$Z (i, j) := N (i, j) - (X + Y)$
とすると，
$X + Y + Z (i, j) = N (i, j)$
$i = 0, 1$ ， $j = 0, 1, 2$ の6通りの場合を考える．
$i, j$ を固定すると， $(X, Y, Z (i, j))$ の個数は， $(X, Y)$ の個数と一致し， $(x, y)$ の個数と一致する．
個数は，
$_{N (i, j) + 2} C_{2} = \frac{(N (i, j) + 2) (N (i, j) + 1)}{2}$
$i = 0$ のとき，
$N (0, j) = 334$
$i = 1, j = 0$ のとき，
$N (1, 0) = 334$
$i = 1, j = 1, 2$ のとき，
$N (1, 0) = 333$
以上から，
$4 \cdot \frac{336 \cdot 335}{2} + 2 \cdot \frac{335 \cdot 334}{2}$
$= 335 \cdot (2 \cdot 336 + 334) = 337010 ．$
$\dots$ (ans)
（２）は別の機会にて．

投稿日：1月3日

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