名古屋大2008前期理系第4問(a)(1)

「重複組合せ」の問題として解きました．
あるK塾講師の反応：「やれるのか？！」
あるs台講師の反応：「マニアックなっ！」
でした．
　とくに断らない限り文字はすべて0以上の整数とする．
（１）$x=2X+i,y=3Y+j$とおく．
ただし，$i=0 , 1$，$j=0,1,2$とする．
与えられた不等式は，
$$3(2X+i)+2(3Y+j) \leqq 2008$$
$$X+Y \leqq \frac{2008-3i-2j}{6}$$
ここで，床関数$[x]$を使って，
$$X+Y \leqq [\frac{2008-3i-2j}{6}]$$
$$[\frac{2008-3i-2j}{6}]=333+[\frac{10-3i-2j}{6}]$$
$$N(i,j):=333+[\frac{10-3i-2j}{6}]$$
$$Z(i,j):= N(i,j)-(X+Y)$$
とすると，
$$X+Y+Z(i,j)=N(i,j)$$
$i=0 , 1$，$j=0,1,2$の6通りの場合を考える．
$i,j$を固定すると，$(X,Y,Z(i,j))$の個数は，$(X,Y)$の個数と一致し，$(x,y)$の個数と一致する．
個数は，
$$ {}_{N(i,j)+2} \mathrm{ C }_2= \frac{(N(i,j)+2)(N(i,j)+1)}{2} $$
$i=0$のとき，
$$N(0,j)=334$$
$i=1,j=0$のとき，
$$N(1,0)=334$$
$i=1,j=1,2$のとき，
$$N(1,0)=333$$
以上から，
$$4 \cdot \frac{336\cdot335}{2} +2 \cdot \frac{335\cdot334}{2} $$
$$=335 \cdot(2 \cdot 336+334)=337010．$$
$ \cdots $(ans)
（２）は別の機会にて．