どうも、全然ブログを更新しない12匁(ボカロP)です。
活動してこなかった理由としては、数学以外のことを頑張ってたことも、そもそも数学のほうで芳しい成果を上げられなかったこともあるので、どうかお許しを!!!!
んで、今回挑戦してみたテーマ、それは、「三平方の定理」です。
え? 三平方の定理?
そうです、三平方の定理です。あの、中学生が習う三平方の定理です。
とにかく、今回は三平方の定理を証明していくんですが、三角法(sinとかcosとか)を用いた証明をしてみました!!
三平方の定理と三角法について、アメリカのJKがなんかすごいことしたらしいので、JKにできて俺にできないことはないだろ的なノリでやってみたら、できちゃったので紹介します。
んじゃ、早速本編へレッツゴー!!!!
中学校3年生の最後に学習する定理、それは、以下に示す「三平方の定理(ピタゴラスの定理)」だ。
直角三角形の各辺に対し、
三平方の定理は、様々な証明方法があり、つい最近(2024年)、三角法を用いた証明が為された。証明の概要は、相似な直角三角形で別の直角三角形の内部を埋め尽くし、級数と正弦定理で式変形して導くものだった。
話は変わって、高校生になると余弦定理というものを学習する。
三角形のある角
よく考えなくてもわかるが、余弦定理は、三平方の定理の拡張であり、三平方の定理よりも強い。
つまり、余弦定理を示すことができれば、自然に三平方の定理が示せたことになる。無論、示す過程で三平方の定理を仮定してはならない(過程と仮定())。
以下、余弦定理を示す。
考える図
ここで、
D,Eをとる
このとき、
この情報を頭に焼き付けてほしい。
また、もちろん
次に、
Fをとったら二等辺三角形ができる
が成り立つ。よって、
続いて、
GとHを追加
ここで、合同より
が成り立つ。
分かりやすさのため、
EとHを結ぶ
このとき、
今、
なんと!余弦定理の一部を三平方の定理を使わずに示せました!
今回用いた図では、
次に、
先ほどと同じように作図をしていくと、
しかし!!「同様に」とだけ記しても、楽しくないので、別のアプローチをしてみましょう!
下のような図を考える。
θが鈍角の図
ここで、
なお、
この結果を用いて
ただし!!!まだ、
さらに!図形を用いて個別に証明すると、それはただの三平方の定理の証明になってしまう!!!
ここで、極限を用いてはさみうちの定理で鮮やかに解決しようと思う。
その前に、aとbが固定されているとき、cはθの関数であり、
cとθの関係
当然
ここから、はさみうちの定理に入ります!!!!
どんな
よって、
わかりやすさのため、
もちろん、
ここで、
よって、
たった今!!!
また、特に
ふぁ~~!!遂に三平方の定理を三角法を用いて証明することができました!!
お疲れ様です!!
もとは、アメリカのJKに負けてたまるかと1週間を捧げて本気になって考えていた証明が、実際に完成して、こうやってブログにかけるのがとてつもなく嬉しいです。だから、若者たちは時間があるうちに、気になったことを探求していって、成果を残していってほしいと思います。
あと、普通に余弦定理はベクトルの内積とかで証明できるらしいので、この証明はたいして美しくなさそうです。残念...なんで証明した後に気が付くんだ...。
ともかく、このブログを通して、少しでも参考になった人がいれば、それで十分です。特に、極限とかを除けばほぼ中学3年生で習うことをベースに証明を構成したので数学に詳しくない人でも読みやすかったのではないかと思います。
それでは、またどこかで!!