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某botさんの問題を解く[4]

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整数問題botさんの問題を解きたいと思います
(この引用がまずかったら消させていただきます)
某雑誌の宿題が解けたので更新します
この問題初見時は大苦戦した記憶があります
[4]問題 [4]問題
(解)
まずn=1,2に対してanが奇数であることを示す
(a+b2)(a+b2)n=(a+b2)n+1より
(a+b2)(an+bn2)=(an+1+bn+12)
(an+1,bn+1)=(aan+2bbn,ban+abn)()
aは奇数よりan+1ana1(=a)1(mod2)
よって全てのnに対してanは奇数…()
次に0以上の整数mに対してa2mb2mは互いに素であることを示す
(a2m+b2m2)2=(a2m+1+b2m+12)
よって
(a2m+1,b2m+1)=((a2m)2+2(b2m)2,2a2mb2m)()
ここでa2m+1,b2m+1が互いに素でないと仮定すると
()に注意すると
a2m+1b2m+10(modp)を満たす3以上の素因数pが存在して
このとき()より
a2m+1a2m(a2m)3+(2a2mb2m)a2m(a2m)3+b2m+1a2m(modp)
(a2m)30(modp)より
a2m0(modp)()
()()2pは互いに素であることより
b2m0(modp)
よってこの操作を繰り返すと
a1b10(modp)となるがa1(=a)b1(=b)が互いに素であることに反する
よってa2m+1,b2m+1は互いに素…(■)
anbnが互いに素でないと仮定すると
anbn0(modq)を満たす素数qが存在して
ここで(★)より
anbn0(modq)ならばan+1bn+10(modq)
この操作を繰り返すことで
ni満たす自然数iに対してaibiは互いに素でないが
n2mとなるmが存在して(■)に矛盾する。
よってanbnは互いに素

投稿日:14
更新日:14
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