整数問題botさんの問題を解きたいと思います(この引用がまずかったら消させていただきます)某雑誌の宿題が解けたので更新しますこの問題初見時は大苦戦した記憶があります [4]問題 (解)まずn=1,2…に対してanが奇数であることを示す(a+b√2)(a+b√2)n=(a+b√2)n+1より(a+b√2)(an+bn√2)=(an+1+bn+1√2)(an+1,bn+1)=(aan+2bbn,ban+abn)…(★)aは奇数よりan+1≡an≡…≡a1(=a)≡1(mod2)よって全てのnに対してanは奇数…(★★)次に0以上の整数mに対してa2mとb2mは互いに素であることを示す(a2m+b2m√2)2=(a2m+1+b2m+1√2)よって(a2m+1,b2m+1)=((a2m)2+2(b2m)2,2a2mb2m)…(★★★)ここでa2m+1,b2m+1が互いに素でないと仮定すると(★★)に注意するとa2m+1≡b2m+1≡0(modp)を満たす3以上の素因数pが存在してこのとき(★★★)よりa2m+1a2m≡(a2m)3+(2a2mb2m)a2m≡(a2m)3+b2m+1a2m(modp)(a2m)3≡0(modp)より♥a2m≡0(modp)…(♥)(★★★)と♥(♥)と2とpは互いに素であることよりb2m≡0(modp)よってこの操作を繰り返すとa1≡b1≡0(modp)となるがa1(=a)とb1(=b)が互いに素であることに反するよってa2m+1,b2m+1は互いに素…(■)anとbnが互いに素でないと仮定するとan≡bn≡0(modq)を満たす素数qが存在してここで(★)よりan≡bn≡0(modq)ならばan+1≡bn+1≡0(modq)この操作を繰り返すことでn≦i満たす自然数iに対してaiとbiは互いに素でないがn≦2mとなるmが存在して(■)に矛盾する。よってanとbnは互いに素
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