縦、横、高さ、対角線すべてが整数となる直方体は存在するか？
こんにちは。ピアノが楽しすぎてそっちも忙しいです。
今回は直方他の辺の長さのお話。学校で気になっていじりましたが、その時はできませんでした。一昨日思い出してオプチャの人と共有しながら考えてたらそれっぽいものは手に入れたので紹介しようと思います。
注意
直方体のおける対角線とは？
ここでは一つの頂点を選び、その点から直方体をなしている点の中で最も遠い点とを結んで得られる線とします。
解を構成してみよう
じつは実際にすべて有理数となる直方体は存在しています。その値を構成したいと、皆さんは思うわけです。今回はその解の構成案を紹介します。
縦、横、高さ、対角線について、縦を$a$、横を$b$、高さを$c$と置くと、対角線は$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$と表すことができます。また、$a,b,c<\sqrt{a^2+b^2+c^2}$です。直方体はくるくる回転させれば$a,b,cをa\le b \le c$とすることができます。これを活用して方程式を組みましょう。今回求めたいのものは$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$が整数となる整数の組$a,b,c$です。$a\le b\le c$という条件を活用して、$a=x$とおき、$b=x+p\:,\:c=x+p+q\:,\:\sqrt{a^2+b^2+c^2}=x+p+q+r$と置き、方程式を組みます。なぜ独立に$p,q,r$を足さないのか？一回それでやりましたが、結構ごちゃるのでやめました。直観とは反して今回の置き方の方がすっきりします。
では、早速解きましょう！
前置きより、次の方程式が成り立つ。(ただし、条件として$(x,x+p,x+p+q,x+p+q+r)$は整数)
\begin{align*}
x^2+(x+p)^2+(x+p+q)^2=(x+p+q+r)^2
\end{align*}
頑張って展開し、項を整理すると
\begin{align*}
2x^2+x(2p-2r)+(p^2-r^2-2pr-2qr)=0
\end{align*}
解の公式より、$x$は
\begin{align*}
x&=\frac{1}{4}\left\{-2p+2r\pm\sqrt{(2p-2r)^2-8(p^2-r^2-2pr-2qr)}\right\}\\
&=\frac{-p+r}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{p^2-2pr+r^2-2p^2+2r^2+4pr+4qr}\\
&=\frac{-p+r}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{3r^2+r(2p+4q)-p^2}\\
&=\frac{-p+r}{2}\pm\frac{\sqrt{D}}{2}
\end{align*}
ここでほしいのは、$\sqrt{3r^2+r(2p+4q)-p^2}$が整数となる$p,q,r$の組です。$p,q$は適当に決めて、$r$を探せばよさそうですよね。この部分がこのやり方の悪いところです。とても時間がかかる。この式を使っていくつか組を見つけてみましょう。
実際に組を見つけてみよう
先ほど得た式を用いて組を見つけましょう。
平方数の和が平方数になるという式ですが、平方数同士は結構な差があると考えることができます。なので、$r$は少し限定してしまってもいいかもしれませんね。ここでは$r=1,2$でいろいろ遊んでみましょう。
(i)$r=1$
$r=1$とすると、先ほど得た式は
\begin{align*}
x=\frac{-p+1}{2}\pm\frac{\sqrt{3+4q+2p-p^2}}{2}
\end{align*}
テキトーに$p$を決めてみましょう。$1$とかね。
$p=1$とすると、
\begin{align*}
D&=3+4q+2p-p^2\\
&=4q+4
\end{align*}
このとき、$q=0,3,8,15,...$のときに平方数となります。
$q=0$のとき、
\begin{align*}
x&=\frac{-1+1}{2}\pm\frac{2}{2}\\
&=1\quad(0< x)
\end{align*}
よって$p=1,q=0,r=1,x=1$がわかり、$(1,2,2,3)$という組を得る。
$q=3$のとき、
\begin{align*}
x&=\frac{-1+1}{2}\pm\frac{4}{2}\\
&=2
\end{align*}
よって$p=1,q=3,r=1,x=2$がわかり、$(2,3,6,7)$という組を得る。
$q=8$のとき、
\begin{align*}
x&=\frac{-1+1}{2}\pm\frac{6}{2}\\
&=3
\end{align*}
よって$p=1,q=8,r=1,x=3$がわかり、$(3,4,12,13)$という組を得る。
$q=15$のとき、
\begin{align*}
x=\frac{-1+1}{2}\pm\frac{8}{2}\\
&=4
\end{align*}
よって$p=1,q=15,r=1,x=4$がわかり、$ (4,5,20,21)$という組を得る。
$p=1$のときに得た組を実際に計算してみると、
\begin{align*}
1^2+2^2+2^2&=9=3^2\\
2^2+3^2+6^2&=49=7^2\\
3^2+4^2+12^2&=169=13^2\\
4^2+5^2+20^2&=441=21^2
\end{align*}
というふうに、しっかりと成り立っていることがわかります。これは縦横高さ対角線すべてが整数となる直方体が存在することにほかなりません。
もう少し遊んでみましょう。
(ii)$r=2$
$r=2$のとき、
\begin{align*}
D&=3\cdot2^2+2(2p+4q)-p^2\\
&=12+4p+8q-p^2
\end{align*}
今回は$p=4$としてみましょう。すると、
\begin{align*}
D&=12+4\cdot4+8q-4^2\\
&=12+8q
\end{align*}
これを平方数とするような$q$は、$q=3,11,23,39,...2k^2+2k-1$がある。これらを$r=1$のときと同様に確かめていくと、
$q=3$のとき、$p=4,q=3,r=2,x=2$がわかり、$(2,6,9,11)$という組を得る。
$q=11$のとき、$p=4,q=11,r=2,x=4$がわかり、$(4,8,19,21)$という組を得る。
$q=23$のとき、$p=4,q=23,r=2,x=6$がわかり、$(6,10,33,35)$という組を得る。
$q=39$のとき、$p=4,q=39,r=2,x=8$がわかり、$(8,12,51,53)$という組を得る。
$q=2k^2+2k-1$のとき、$p=4,q=2k^2+2k-1,r=2,x=2k$がわかり、$(2k\:,\:2k+4\:,\:2k^2+4k+3\:,\:2k^2+4k+5)$という組を得る。
このことからわかる様に、この$k$に整数を突っ込み続ければ永遠と今回のお話に適した解を吐き出すため、実は縦横高さ対角線がすべて整数となる直方体は無数に存在することがわかります。
おわり
どうだったでしょうか。今回は$r=1,2$しか試しませんでしたが、皆さんの手で$r=3,4,...$を試して遊んでみてください。個人的にはなんか成長した気になれてうれしいです。ほな、さいなら！
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
