バーゼル問題の証明に出てくる無限積を3乗に変えてみた

$$f(x)=\frac{\pi x}{\sin \left(\pi x\right)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$$が定数関数$f(x)=1$であることを示す。
対数微分すると、
$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2}-\pi \cot \pi x$$となる。ここで、$\pi \cot \pi x$は三角関数の部分分数分解の公式を利用すると、
$$\pi \cot \pi x=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2}$$であるため、
$$\begin{array}{rcl}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}& =& \frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2}-(\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2})\\ & =& 0\end{array}$$
よって、$f^{\prime }(x)=0$であるため、$f(x)=C$ ($C$は定数)
ここで、$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\pi x}{\sin \left(\pi x\right)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\pi x}{\sin \left(\pi x\right)}=1$$
よって$f(x)=1$

マクローリン展開と先ほど得た式の$x^2$の係数を比較する。
$$\frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})(1)$$
$$\frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{\pi }^{2n}}{(2n+1)!}{x}^{2n}(2)$$
$(1)$の式の$x^2$の項は、$-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$であり、
$(2)$の式の$x^2$の項は、$-\frac{{\pi }^2}{6}$であるため、
$$\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

ワイエルシュトラスの乗積表示に$x$と$-x$を代入します。
$$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}=x{e}^{\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n})e^{-\frac{x}{n}}$$
$$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-x)}=-x{e}^{-\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x}{n})e^{\frac{x}{n}}$$
二つをかけ合わせます。
$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(-x)}& =& x{e}^{\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n})e^{-\frac{x}{n}}\cdot -x{e}^{-\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x}{n})e^{\frac{x}{n}}\\ & =& -x^2\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n})e^{-\frac{x}{n}}(1-\frac{x}{n})e^{\frac{x}{n}}\\ & =& -x^2\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})\\ & =& -\frac{x\sin \left(\pi x\right)}{\pi }\end{array}$$
となり、逆数を取ると
$$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(-x)=-\frac{\pi }{x\sin \left(\pi x\right)}$$
さらに$-x\mathrm{\Gamma }(-x)=\mathrm{\Gamma }(1-x)$だから、両辺に$-x$をかけて
$$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(1-x)=\frac{\pi }{\sin \left(\pi x\right)}$$

$$\begin{array}{rcl}(1+\frac{ax}{n})(1+\frac{bx}{n})(1+\frac{cx}{n})& =& 1+\frac{x^3}{n^3}\\ 1+(a+b+c)\frac{x}{n}+(ab+ac+bc)\frac{x^2}{n^2}+abc\frac{x^3}{n^3}& =& 1+\frac{x^3}{n^3}\end{array}$$
係数を比較すると、
$$\{\begin{array}{l}a+b+c=0\\ ab+ac+bc=0\\ abc=1\end{array}$$
これを頑張って計算すると、
$$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\ c=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\end{array}$$となります。（本当は対称式なので入れ替えたやつも解になるが）

$$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}=x{e}^{\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n})e^{-\frac{x}{n}},\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\omega x)}=\omega x{e}^{\gamma \omega x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{\omega x}{n})e^{-\frac{\omega x}{n}},\frac{1}{\mathrm{\Gamma }({\omega }^{2}x)}={\omega }^{2}x{e}^{\gamma {\omega }^{2}x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{{\omega }^{2}x}{n})e^{-\frac{{\omega }^{2}x}{n}}$$
この3つの式を掛け合わせると
$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(\omega x)\mathrm{\Gamma }({\omega }^{2}x)}& =& x{e}^{\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n})e^{-\frac{x}{n}}\cdot \omega x{e}^{\gamma \omega x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{\omega x}{n})e^{-\frac{\omega x}{n}}\cdot {\omega }^{2}x{e}^{\gamma {\omega }^{2}x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{{\omega }^{2}x}{n})e^{-\frac{{\omega }^{2}x}{n}}\\ & =& {\omega }^3{x}^3{e}^{({\omega }^2+\omega +1)\gamma x}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x}{n})(1+\frac{\omega x}{n})(1+\frac{{\omega }^{2}x}{n})e^{-({\omega }^2+\omega +1)\frac{x}{n}}\\ & =& x^3\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^3}{n^3})\end{array}$$
よって、
$$\begin{array}{rcl}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^3}{n^3})& =& \frac{1}{x^3\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(\omega x)\mathrm{\Gamma }({\omega }^{2}x)}\\ & =& \frac{1}{x\mathrm{\Gamma }(x)\cdot \omega x\mathrm{\Gamma }(\omega x)\cdot {\omega }^{2}x\mathrm{\Gamma }({\omega }^{2}x)}\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1+\omega x)\mathrm{\Gamma }(1+{\omega }^{2}x)}\end{array}$$
$x$を$-x$に置き換えて、
$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^3}{n^3})=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-x)\mathrm{\Gamma }(1-\omega x)\mathrm{\Gamma }(1-{\omega }^{2}x)}$$

$m^3=(m\omega {)}^3=(m{\omega }^2{)}^3$であるため、$m^3$を代入すればいい
$$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{m^3}{n^3})=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-m)\mathrm{\Gamma }(1-\omega m)\mathrm{\Gamma }(1-{\omega }^{2}m)}$$
$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-m)}$は$m$が自然数であるとき$0$になる。

$$\begin{array}{rcl}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{n^3})& =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(2)\mathrm{\Gamma }(1+\omega )\mathrm{\Gamma }(1+{\omega }^2)}\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+\omega )\mathrm{\Gamma }(1+{\omega }^2)}\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\mathrm{\Gamma }(1-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i))}\\ & =& \frac{1}{\pi }\sin \left(\pi (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\right)\\ & =& \frac{1}{\pi }\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\pi i)\\ & =& \frac{1}{\pi }\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\pi i\right)\\ & =& \frac{1}{\pi }\cosh \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\pi \right)\end{array}$$