京大特色2026年度P4の解説

まえがき

特色事故った憂さ晴らしです．

解説

$e^x>0$より, $f(x)>0,\ g(x)>0, \ h(x)>0$が成立する. $\cdots (\ast)$

また, $x=0$を代入すると, $f(0)=a,g(0)=b,h(0)=0$が成立する.

$(1),(2),(3)$の式を微分をすると, ($(1),(2)$は$\log$を取って微分する.)
\begin{align*} f'(x)&=-f(x)h'(x) \ &\cdots(1)' \\ g'(x)&=g(x)f(x)-g(x) &\cdots(2)' \\ h'(x)&=g(x) &\cdots(3)' \\ \end{align*}
$(1)'+(2)'+(3)'$より,
$$f'(x)+g'(x)+h'(x)=-f(x)h'(x)+g(x)f(x)=0 \ (\therefore h'(x)=g(x) )$$
したがって, $f(x)+g(x)+h(x)$ が定数になるので,
$$f(x)+g(x)+h(x)=f(0)+g(0)+h(0)=a+b \cdots (4)$$
また, $(\ast), (1)',(3)'$より$f(x):$狭義単調減少,$h(x):$狭義単調増加であることがわかる. $\cdots(\ast \ast)$

補題より, $f(\alpha)=1$となる正実数$\alpha$が存在するので, その実数を$\alpha$とする.
このとき, $f(x):$狭義単調減少,$f(0)=a>1$より, $\displaystyle \int _{0} ^x (f(y)-1) dy $ は $x=\alpha$のときに最大値を持つので, $(2)$より$g(x)$は$x=\alpha$のときに最大値をとる.
また, $(1)$に$x=\alpha$を代入すると$1=a\exp(-h(\alpha))$となるので$h(\alpha)=\ln(a)$となる.
以上より
\begin{align*} f(\alpha)+g(\alpha)+h(\alpha)&=a+b \\ 1+g(\alpha)+\ln(a)&=a+b \\ g(\alpha)&=a+b-1-\ln(a) \\ \end{align*}
となるので, $g(x)$の最大値は $a+b-1-\ln(a)$

あとがき

ここまでの憂さ晴らしに付き合っていただきありがとうございます. 個人的には受験数学の中でもトップクラスで好きな問題です!