On Jacobi forms which connect infinite products and infinite sumsを理解したいNo.1
概要
本稿はmodular形式についての入門記事だ。
具体的には下記の構成になっている。
- Jacobiの三重積
- modular形式と$\eta$関数
- $\theta$関数
- Jacobi形式
- $\theta$分解定理
ちなみに本記事を書いた動機は下記の資料を理解するためだ。
鍵のとなるのは次の三つだ。
- Jacobiの三重積
- Poisson和
- $\theta$関数
自己完結できる記事になっているはずであり、内容はそこまで難しくないはずだ。
ただ、計算が非常に煩わしいので頑張ってついて来て欲しい。
以上、後はずんだもんよろしく。
Jacobiの三重積
非負整数$N\in\mathbb{Z}_{\geq0}$の分割とは、$\exists \lambda_{1}\geq \lambda_{2}\geq\cdots\geq \lambda_{r}\gt 0\ s.t.\ \sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}=N$となる整数列$\lambda\coloneqq(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{r})$を言う。
また次の様な記号を定める。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
|\lambda|=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}=N\\
l(\lambda)=r
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$l(\lambda)$を分割$\lambda$の長さと言う。
なお$\lambda=(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{r})$を第$i$行に$\lambda_{i}$個の正方形を左詰めで配置して表した図形をYoung図形と言う。
例えば$\lambda=(5,4,2)$に対応するYoung図形は下記の様になる。
なお$\varnothing$も許す。
単調減少自然数列$\alpha_{1}\gt\alpha_{2}\gt\cdots\gt\alpha_{r},\beta_{1}\gt\beta_{2}\gt\cdots\gt\beta_{r}$を考える。
この時、
(1)傾き$-45$度の対角線上に正方形を$r$個並べる。
(2)先の正方形で左上から見て$i$番目の正方形の右側に$\alpha_{i}$個の正方形を並べる。
(3)先の正方形で左上から見て$i$番目の正方形の右側に$\beta_{i}$個の正方形を並べる。
上記の操作で、Young図形ができる。
この操作を$(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{r}|\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{r})$で書きFrobenius記号と言う。
集合$A$に和と順序が定義されているとする。
この時、次の様に記号を定める。
\begin{equation}
(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{r})\vdash_{条件P} a\in A\overset{def}\Leftrightarrow a=|\lambda|=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\land \lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq\cdots\geq\lambda_{r}\gt0\land\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}は条件Pを満たす。
\end{equation}
以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \prod_{m\geq 1}\frac{1}{1-q^{m}}=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{\lambda\vdash n}q^{|\lambda|}\\
\displaystyle \prod_{m\geq 1}(1+zq^{m-\frac{1}{2}})=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{\alpha\vdash_{分割の成分は全て相違} \frac{n}{2}\in\frac{\mathbb{Z\geq 0}}{2}}z^{l(\alpha)}q^{|\alpha|}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[1]
\begin{eqnarray}
\prod_{m\geq 1}\frac{1}{1-q^{m}}&=&\prod_{m\geq 1}\sum_{n=0}^{\infty}q^{mn}\\
&=&(1+q^{1\cdot 1}+q^{2\cdot 1}+q^{3\cdot 1}+\cdots)(1+q^{1\cdot 2}+q^{2\cdot 2}+q^{3\cdot 2}+\cdots)(1+q^{1\cdot 3}+q^{2\cdot 3}+q^{3\cdot 3}+\cdots)\cdots\\
&=&\cdots+q^{\cdots+0+\lambda_{r}r+\lambda_{r-1}(r-1)+\cdots+\lambda_{2}2+\lambda_{1}1}+\cdots\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{\lambda\vdash n}q^{|\lambda|}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\prod_{m\geq 1}(1+zq^{m-\frac{1}{2}})&=&(1+zq^{\frac{1}{2}})(1+zq^{\frac{3}{2}})(1+zq^{\frac{5}{2}})\cdots\\
&=&\cdots+z^{r}q^{\frac{2k_{r}+1}{2}+\frac{2k_{r-1}+1}{2}+\cdots+\frac{2k_{1}+1}{2}}+\cdots\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{\alpha\vdash_{分割の全ての成分は相違}\frac{n}{2}\in\frac{\mathbb{Z}}{2}}z^{l(\alpha)}q^{|\alpha|}
\end{eqnarray}
$L\coloneqq \mathbb{Z}+\frac{1}{2}$とする。
この時、基底状態を次の様に定める。
\begin{equation}
g:L\rightarrow \{0,1\},g(t)\mapsto\left\{\begin{array}{l}1\quad(t\lt 0)\\0\quad(t\gt 0)\end{array}\right.
\end{equation}
写像$\psi:L\rightarrow \{0,1\}$がMaya図形であるとは有限個の$t\in L$を除いて$\psi(t)=g(t)$となる事を言う。Maya図形全体を$\mathrm{Maya}$と書く。
次の集合を考え、それぞれ電子そして正孔の集合と名づける。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
S(\psi)\coloneqq\{s\gt0|\psi(s)=1\}\\
\overline{S}(\psi)\coloneqq\{s\lt 0|\psi(s)=0\}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
| 基底$g$ | $\cdots$ | ● | ● | ● | ○ | ○ | ○ | $\cdots$ | |
| 位置 | $\cdots$ | $-\frac{5}{2}$ | $-\frac{3}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{2}$ | $\frac{5}{2}$ | $\cdots$ |
| Maya図形$\psi$ | $\cdots$ | ○ | ● | ○ | ○ | ○ | ● | $\cdots$ |
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} c(\psi)\coloneqq\sharp S(\psi)-\sharp\overline{S}(\psi)\\ E(\psi)\coloneqq\sum_{s\in S(\psi)}s-\sum_{s\in \overline{S}(\psi)}s \end{array} \right. \end{eqnarray}
\begin{equation} \sum_{\psi\in \mathrm{Maya}}z^{c(\psi)}q^{E(\psi)}=\prod_{m\geq 1}(1+zq^{m-\frac{1}{2}})(1+z^{-1}q^{m-\frac{1}{2}}) \end{equation}
位置$s=m-\frac{1}{2}\gt 0$に電子を置くか/置かない。位置$s=-(m-\frac{1}{2})\lt 0$に正孔を置くか/置かないを選択する。
この操作は独立に行なう事とMaya図形は一対一に対応する。
- 電子はエネルギー$+1$を与えるので因子$1+zq^{m-\frac{1}{2}}$に対応
- 正孔はエネルギー$-1$を与えるので因子$1+z^{-1}q^{m-\frac{1}{2}}$に対応
故に、所要の式が証明された。
Maya図形$\psi\in\mathrm{Maya}$について、特に電荷$n=c(\psi)$を持つものの内最小のエネルギー$E(\psi)=\frac{n^{2}}{2}$を持つものを電荷$n$の基底と呼ぶ。
なお、以下電荷$n$の基底を$\psi_{n}$と略記する。
電荷$n$のMaya図形$\psi\in\mathrm{Maya}$と電荷$n$の基底状態$\psi_{n}$に対し、以下の様な集合を定める。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
A_{n}(\psi)\coloneqq\{s\in L|\psi_{n}(s)=0,\psi(s)=1\}\\
B_{n}(\psi)\coloneqq\{s\in L|\psi_{n}(s)=1,\psi(s)=0\}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\sum_{\substack{\psi\in\mathrm{Maya}\\c(\psi)=n}}q^{E(\psi)}=q^{\frac{n^{2}}{2}}\sum_{\lambda\vdash n}q^{|\lambda|}=\frac{q^{\frac{n^{2}}{2}}}{\prod_{m\geq 1}(1-q^{m})}
\end{eqnarray}
[1]$\psi$は$(A_{n}(\psi),B_{n}(\psi))$の組みで完全に決まる。
実際$s\not\in A_{n}(\psi)\cup B_{n}(\psi):\psi(s)=\psi_{n}(s)$であるので$\psi$は$\psi_{n}$と$(A_{n}(\psi),B_{n}(\psi))$の組みで完全に決まる。また逆に$\psi$から$(A_{n}(\psi),B_{n}(\psi))$を一意に表す事ができるので、電荷$n$のMaya図形全体と$(A_{n}(\psi),B_{n}(\psi))$は一対一に対応する。
[2]$\sharp A_{n}(\psi)=\sharp B_{n}(\psi)$が成り立つ。
もし$s\in A_{n}(\psi)$であれば、位置$s$の正孔を消し電子を一個増やす。$s\in B_{n}(\psi)$であれば、電子を消し正孔を一個増やす。
故に
\begin{eqnarray}
n&=&c(\psi_{n})+\sharp{A}(n)-\sharp{B}(n)\\
&=&n+\sharp{A}(n)-\sharp{B}(n)
\end{eqnarray}
故に$\sharp{A}(n)=\sharp{B}(n)$
[3]$(A_{n}(\psi),B_{n}(\psi))$と分割は一対一対応する。
$\psi_{n}$である場合、電子は$\frac{1}{2}\leq s\leq n-\frac{1}{2}$を占有し、それ以外に存在しないので
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\exists a_{1},a_{2},...,a_{d}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}(a_{1}\gt a_{2}\gt\cdots\gt a_{d}\geq 0)\ s.t. A_{n}(\psi)=\{n+a_{i}+\frac{1}{2}|i=1,2,...,d\}\\
\exists b_{1},b_{2},...,b_{d}\in\mathbb{Z}_{\geq 0}(b_{1}\gt b_{2}\gt\cdots\gt b_{d}\geq 0)\ s.t. B_{n}(\psi)=\{n-b_{i}-\frac{1}{2}|i=1,2,...,d\}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$s\leq -\frac{1}{2}$で$\psi_{n}(s)=1$である事に注意。
の様に一意に書けるのでFrobenius記号により分割$\lambda=(a_{1},a_{2},...,a_{d}|b_{1},b_{2},...,b_{d})$を構成できる。逆に任意の分割$\lambda$から組み$(A_{n}(\psi),B_{n}(\psi))$が定まるので$(A_{n}(\psi),B_{n}(\psi))$と分割は一対一対応する事がわかった。
[4]
\begin{equation}
E(\psi)=\sum_{s\gt 0}s\psi(s)+\sum_{s\lt 0}(-s)\{1-\psi(s)\}
\end{equation}
を用いると以下の様に計算できる。
\begin{eqnarray}
E(\psi)-E(\psi_{n})&=&\sum_{\substack{s\gt 0\\s\in L}}s\{\psi(s)-\psi_{n}(s)\}+\sum_{\substack{s\lt 0\\s\in L}}(-s)\{\psi_{n}(s)-\psi(s)\}\\
&=&\sum_{s\in L}s\{\psi(s)-\psi_{n}(s)\}\\
&=&\sum_{s\in A_{n}(\psi)}s-\sum_{s\in B_{n}(\psi)}s\\
&=&\sum_{i=1}^{d}\{(n+a_{i}+\frac{1}{2})-(n-b_{i}-\frac{1}{2})\}\\
&=&\sum_{i=1}^{d}(a_{i}+b_{i}+1)\\
&=&|\lambda|
\end{eqnarray}
故に$E(\psi_{n})=\frac{n^{2}}{2}$を代入して以下の結果を得る。
\begin{equation}
E(\psi)=\frac{n^{2}}{2}+|\lambda|
\end{equation}
[5]上記の結果を代入すると証明完了。
\begin{eqnarray}
\sum_{\substack{\psi\in \mathrm{Maya}\\c(\psi)=n}}q^{E(\psi)}&=&q^{\frac{n^{2}}{2}}\sum_{\lambda\vdash n}q^{|\lambda|}\\
&=&\frac{q^{\frac{n^{2}}{2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})}
\end{eqnarray}
\begin{equation} \prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1+zq^{m-\frac{1}{2}})(1+z^{-1}q^{m-\frac{1}{2}})=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{n^{2}}{2}}z^{n} \end{equation}
\begin{eqnarray} \prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1+zq^{m-\frac{1}{2}})(1+z^{-1}q^{m-\frac{1}{2}})&=&\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})\sum_{\psi\in \mathrm{Maya}}z^{c(\psi)}q^{E(\psi)}\\ &=&\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})\sum_{n=1}^{\infty}z^{n}\sum_{\substack{\psi\in\mathrm{Maya}\\c(\psi)=n}}q^{E(\psi)}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}q^{\frac{n^{2}}{2}}z^{n} \end{eqnarray}
Jacobiの三重積において$z\mapsto q^{\lambda}z$とすると
\begin{equation}
\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1+zq^{m+\lambda-z\frac{1}{2}})(1+z^{-1}q^{m-\lambda-\frac{1}{2}})=q^{-\frac{1}{2}\lambda^{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{1}{2}(n+\lambda)^{2}}z^{n}
\end{equation}
ただ計算するだけ。
modular形式と$\eta$関数
$2$次の正則行列全体$\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C})$により定まる写像$\psi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:\mathbb{C}\ni z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}\in\mathbb{C}$をMobius変換と言う。
Mobius変換の集合を$\mathrm{Me}(\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C}))$とする。この時$\mathrm{Me}$に写像の合成として積を導入すると$\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C})^{\times}$と$\mathrm{Me}(\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C}))$は準同型。
[準同型性]
写像$l:\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C})\ni\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\mapsto\psi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathrm{Me}$は準同型射
\begin{eqnarray}
\forall z\in\mathbb{C}:\forall \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}\in\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{C}):l(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix})(z)&=&l(\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix})(z)\\
&=&\psi\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}(z)\\
&=&\frac{(ae+bg)z+af+bh}{(ce+dg)z+cf+dh}\\
&=&\frac{a(ez+f)+b(gz+h)}{c(ez+f)+d(gz+h)}\\
&=&\frac{a\frac{ez+f}{gz+h}+b}{c\frac{ez+f}{gz+h}+d}\\
&=&\psi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\circ \psi\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}(z)\\
&=&l(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix})\circ l(\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix})(z)
\end{eqnarray}
故に$l$が準同型写像である事が示された。
以下$\forall z\in\mathbb{C}:\forall \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}:\psi\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}(z)=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}z$と略記する。
上半平面$\mathbb{H}\coloneqq\{\tau\in\mathbb{C}|\mathrm{Im}{\tau}\gt0\}$に対して以下の式が成り立つ事を証明せよ。
\begin{equation}
\forall z\in\mathbb{H}:\forall \gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathrm{Me}(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})):\mathrm{Im}{\gamma z}=\frac{\mathrm{Im}{z}}{|cz+d|^{2}}\gt 0
\end{equation}
要するに$\forall \gamma\in \mathrm{Me}(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})):\gamma\mathbb{H}\subset\mathbb{H}$が成り立つ。
ただ計算するだけ。
\begin{eqnarray}
\mathrm{Im}{\gamma z}&=&\mathrm{Im}{\frac{az+b}{cz+d}}\\
&=&\mathrm{Im}{\frac{(az+b)(cz^{\ast}+d)}{|cz+d|^{2}}}\\
&=&\mathrm{Im}{\frac{ac|z|^{2}+bd+adz+bcz^{\ast}}{|cz+d|^{2}}}\\
&=&\frac{(ad-bc)\mathrm{Im}{z}}{|cz+d|^{2}}\\
&=&\frac{\mathrm{Im}{z}}{|cz+d|^{2}}\gt 0
\end{eqnarray}
$\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})$は$S=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$とした時、$\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C})=< S,T>$と書ける。
$G\coloneqq< S,T>$とおく。
[1]単純に計算する事で$S,S^{2}=-E,S^{3}=-S,S^{4}=E\in G$を得る。
[2]次に$\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})\subset G$を示す。
そのために$\forall \gamma=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C})\Rightarrow \gamma\in G$を満たすことを示す。
$|c|=0$の場合は$ad-bc=ad=1$より$a=d=\pm1$。従って$\gamma=\pm\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}=\pm T^{b}$を得る。
よって$-E\in G$も合わせて考えると$\gamma\in G$
[3]$1,2,...,|c|-1$まで成立するとする。すると$|c|$の時、Euclidの互除法により次の式が成り立つ。$\exists q,r\in\mathbb{Z}(0\leq r\lt |c|)\ s.t.\ a=cq+r$故に、$q=-n$のように定めると
\begin{eqnarray}
T^{n}\gamma&=&\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}r&b+nd\\c&d\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
ST^{n}\gamma&=&\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}r&b+nd\\c&d\end{pmatrix}\\
&=&\begin{pmatrix}-c&-d\\r&b+nd\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
を得る。帰納法の仮定より$ST^{n}\gamma\in G$故に、$\gamma=T^{-n}S^{-1}(ST^{n}\gamma)\in G$となる事が分かるので証明完了。
整数$k\in\mathbb{Z}$に対して正則関数$f:\mathbb{H}\rightarrow\mathbb{C}$が重さ$k$のmodular形式であるとは以下の性質を持つ事を言う。
(1)$\forall \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C}):f(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^{k}f(z)$
(2)$\mathrm{Im}{z}\rightarrow\infty$で$f$が有界
正則関数$f:\mathbb{H}\rightarrow\mathbb{C}$が重さ$k$のmodular形式とするとある複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$が存在して次のように書ける事を証明せよ。
\begin{equation}
f(z)=\sum_{n\geq 0}a_{n}q(z)^{n}
\end{equation}
ただし$q(z)\coloneqq e^{i2\pi z}$
[1]$f(z)$は周期$1$を持つ関数。
\begin{eqnarray}
\forall z\in\mathbb{C}:f(z+1)&=&f(\frac{1z+1}{0z+1})\\
&=&(0z+1)^{k}f(z)\\
&=&f(z)
\end{eqnarray}
[2]周期$1$を持つのでFourier展開を施す事で以下の級数を得る。
\begin{equation}
\exists \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{Z}}\subset\mathbb{C}\ s.t.\ f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_{n}q(z)^n
\end{equation}
[3]f(z)はカスプ形式なので$\mathrm{Im}{z}\rightarrow \infty$で$f$は有界。
特に$z=i\tau$としてみると
\begin{eqnarray}
q(z)^{n}&=&e^{i2\pi nz}\\
&=&e^{-2\pi n\tau}
\end{eqnarray}
を得るので次の事が分かる。
\begin{equation}
\mathrm{Im}{z}\rightarrow\infty \Rightarrow q(z)^{n}\rightarrow\left\{\begin{array}{l}0\quad(n\geq 0)\\\infty\quad(n\lt 0)\end{array}\right.
\end{equation}
故に$a_{-1}=a_{-2}=\cdots=0$でないといけない事が分かり証明完了。
$k\in\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$に対して以下の様な級数を定めるとこれは重さ$k$のmodular関数になる事を確認せよ。また絶対収束することまで証明せよ。
\begin{equation}
\forall z\in\mathbb{H}:E_{k}(z)=\frac{1}{2}\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}\\\gcd{(p,q)}=1}}(pz+q)^{-k}
\end{equation}
なおこの級数をEisenstein級数という。
[1]
\begin{eqnarray}
\forall \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C}):E_{k}(\frac{az+b}{cz+d})&=&\frac{1}{2}\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}\\\gcd{(p,q)}=1}}(p\frac{az+b}{cz+d}+q)^{-k}\\
&=&\frac{1}{2}\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}\\\gcd{(p,q)}=1}}\{\frac{(ap+cq)z+pb+dq}{cz+d}\}^{-k}\\
&=&(cz+d)^{k}\frac{1}{2}\sum_{\substack{(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}\\\gcd{(p,q)}=1}}\{(ap+cq)z+pb+dq\}^{-k}
\end{eqnarray}
次に集合$\omega\coloneqq\{(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}|\gcd{(p,q)}\}=1\},\Omega(a,b)\coloneqq\{(ap+cq,pb+dq)\in\mathbb{Z}^{2}|(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}\land\gcd{(p,q)}=1\}$を定めると$\Omega=\omega$を示す。
[$\Omega\subset\omega$]
$\gcd{(ap+cq,bq+dq)}=g\gt1$とする。
すると以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
ap+cq=gs_{1}\\
bp+dq=gs_{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
が成り立つ。これから直ちに
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
p\\q
\end{pmatrix}=g\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{1}\\s_{2}\end{pmatrix}
\end{equation}
と言う式が得られるが$\gcd(p,q)\geq g\gt 1$となり矛盾。
故に、$\gcd{(ap+cq,bq+dq)}=1$が得られるので$\Omega\subset\omega$。
[$\omega\subset \Omega$]
以下の様に計算できるので、証明完了。
\begin{equation}
\forall (P,Q)\in\Omega: \begin{pmatrix}p,q\end{pmatrix}=(P,Q)\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}
\end{equation}
上記をまとめると
\begin{equation}
E_{k}(\frac{az+b}{cz+d})=(cz+d)^{k}E_{k}(z)
\end{equation}
[絶対収束性]
\begin{eqnarray}
|E_{k}(z)|&\leq&\frac{1}{2}\sum_{(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}\setminus\{(0,0)\}}|pz+q|^{-k}\\
&=&\frac{1}{2}\sum_{q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\frac{1}{|q|^{k}}+\frac{1}{2}\sum_{p\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\sum_{q\in\mathbb{Z}}\frac{1}{|pz+q|^{k}}\\
&=&\zeta(k)+\frac{1}{2}\sum_{p\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\sum_{q\in\mathbb{Z}}\frac{1}{|pz+q|^{k}}
\end{eqnarray}
故に$z=x+iy$とすると
\begin{eqnarray}
\sum_{q\in\mathbb{Z}}\frac{1}{|pz+q|^{k}}&=&\sum_{q\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\{(px+q)^{2}+p^{2}y^{2}\}^{\frac{k}{2}}}\\
&\leq&C_{k}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dq}{\{(px+q)^{2}+p^{2}y^{2}\}^{\frac{k}{2}}}\\
&=&C_{k}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dq}{(q^{2}+p^{2}y^{2})^{\frac{k}{2}}}\quad(q=|p|r)\\
&=&\frac{1}{|p|^{k-1}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dr}{(r^{2}+y^{2})^{\frac{k}{2}}}\quad(r=ys)\\
&=&\frac{C_{k}}{(y|p|)^{k-1}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{ds}{(1+s^{2})^{\frac{k}{2}}}\\
&=&\frac{C_{k}M_{k}}{(y|p|)^{k-1}}
\end{eqnarray}
ただし、$M_{k}$は以下のように定めた。
\begin{eqnarray}
M_{k}&=&\int_{-\infty}^{\infty}\frac{ds}{(1+s^{2})^{\frac{k}{2}}}\quad(s=\tan{\theta})\\
&=&2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{k-2}{\theta}d\theta\\
&=&B(\frac{1}{2},\frac{k-1}{2})\\
&=&\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{k-1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\\
&=&\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{k-1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}
\end{eqnarray}
この$M_{k}$を用いると
\begin{eqnarray}
\sum_{p\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\sum_{q\in\mathbb{Z}}\frac{1}{|pz+q|^{k}}\lt\frac{C_{k}M_{k}}{y^{k-1}}\sum_{p\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}}\frac{1}{|p|^{k-1}}
\end{eqnarray}
$k\gt 2$で絶対収束する事が示された。
$q=e^{i2\pi z}\quad(z\in\mathbb{H})$に対し、以下の様な無限積を定義する。
\begin{equation}
\eta(z)\coloneqq q^{\frac{1}{24}}\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})
\end{equation}
$\eta$関数について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\eta(z+1)=e^{\frac{\pi i}{12}}\eta(z)
\end{equation}
$q(z+1)=q(z),q(z)^{\frac{1}{24}}=e^{\frac{\pi i}{12}}q(z)$である事から明らか。
$\theta$関数
$z\in\mathbb{H},z\in\mathbb{C},q=e^{i2\pi z},\zeta=e^{i2\pi w}$に対して以下の関数を定める。
\begin{equation}
\theta:\mathbb{H}\times\mathbb{C}\ni(z,w)\mapsto\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{n^{2}}{2}}\zeta^{n}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{i\pi n^{2}z}e^{i2\pi nw}\in\mathbb{C}
\end{equation}
\begin{eqnarray} \mu,\nu\in\mathbb{Z}:\left\{ \begin{array}{l}\theta(z,w+\mu)=\theta(z,w)\\ \theta(z,w+\lambda z)=q^{-\frac{\lambda^{2}}{2}}\zeta^{-\lambda}\theta(z,w) \end{array} \right. \end{eqnarray}
[第一式]$\zeta(w+\mu)=e^{i2\pi (w+\mu)}=\zeta(w)$なので明らか。
[第二式]$\zeta(w+\lambda z)=e^{i2\pi (w+\lambda z)}=\zeta(w)q^{\lambda}$なので
\begin{eqnarray}
\theta(z,w+\lambda z)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{n^{2}}{2}}\zeta^{n}q^{n\lambda}\\
&=&q^{-\lambda^{2}}\zeta^{-\lambda}\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{1}{2}(n+\lambda)^{2}}\zeta^{n+\lambda}\\
&=&q^{-\lambda^{2}}\zeta^{-\lambda}\theta(z,w)
\end{eqnarray}
周期$L$を持つ関数$f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$について以下の様に書ける。
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\exists\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\exists\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}\ s.t\ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos{\frac{2n\pi}{L}z}+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\sin{\frac{2n\pi}{L}z}\\
a_{0}=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(z)dz\\
a_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(z)\sin{\frac{2n\pi}{L}z}dz\\
b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(z)\cos{\frac{2n\pi}{L}z}dz\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
また$c_{n}=a_{n}-ib_{n}$とすると
\begin{equation}
f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_{n}e^{\frac{i2\pi n}{L}z}
\end{equation}
下記の計算を用いればいい。
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{L}\sin{\frac{2m\pi}{L}z}\cos{\frac{2n\pi}{L}z}dz&=&\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\{\sin{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}+\sin{\frac{2(m-n)\pi}{L}z}\}dz\\
&=&\left\{\begin{array}{l}
-\frac{L}{4\pi}[\frac{1}{m+n}\cos{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}+\frac{1}{m-n}\cos{\frac{2(m-n)\pi}{L}z}]_{0}^{L}\quad(m\neq n)\\
-\frac{L}{4\pi}[\frac{1}{m+n}\cos{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}]_{0}^{L}\quad(m=n)
\end{array}
\right.\\
&=&0
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{L}\cos{\frac{2m\pi}{L}z}\cos{\frac{2n\pi}{L}z}dz&=&\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\{\cos{\frac{2(m-n)\pi}{L}z}-\cos{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}\}dz\\
&=&\left\{\begin{array}{l}
\frac{L}{4\pi}[\frac{1}{m+n}\sin{\frac{2(m-n)\pi}{L}z}-\frac{1}{m-n}\sin{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}]_{0}^{L}\\
\frac{1}{2}[z-\frac{L}{2\pi(m-n)}\sin{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}]_{0}^{L}
\end{array}
\right.\\
&=&\frac{L}{2}\delta_{mn}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{L}\sin{\frac{2m\pi}{L}z}\sin{\frac{2n\pi}{L}z}dz&=&\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\{\cos{\frac{2(m-n)\pi}{L}z}+\cos{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}\}dz\\
&=&\left\{\begin{array}{l}
\frac{L}{4\pi}[\frac{1}{m+n}\sin{\frac{2(m-n)\pi}{L}z}+\frac{1}{m-n}\sin{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}]_{0}^{L}\\
\frac{1}{2}[z+\frac{L}{2\pi(m-n)}\sin{\frac{2(m+n)\pi}{L}z}]_{0}^{L}
\end{array}
\right.\\
&=&\frac{L}{2}\delta_{mn}
\end{eqnarray}
また以下の計算を行う事で後半も示せる。
\begin{eqnarray}
f(z)&=&\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos{\frac{2n\pi}{L}z}+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\sin{\frac{2n\pi}{L}z}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\frac{e^{i\frac{2n\pi}{L}z}+e^{-i\frac{2n\pi}{L}z}}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\frac{e^{i\frac{2n\pi}{L}z}-e^{-i\frac{2n\pi}{L}z}}{2i}\\
&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{i\frac{2n\pi}{L}z}
\end{eqnarray}
周期$L$を持つ関数$f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$について$L\rightarrow\infty$の極限を取るとどうなるか？
\begin{eqnarray}
f(z)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{a_{n}-ib_{n}}{2}e^{i\frac{2n\pi}{L}z}\\
&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(w)e^{-i\frac{2n\pi}{L}w}dwe^{i\frac{2n\pi z}{L}}\\
&=&\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}f(w)\frac{1}{L}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{i\frac{2n\pi}{L}(z-w)}dw
\end{eqnarray}
次に$L=N\in2\mathbb{N}$として$L\rightarrow\infty$の極限を取ると以下の式を得る。
\begin{eqnarray}
f(z)&=&\lim_{N\rightarrow\infty}\int_{-N}^{N}f(w)\frac{1}{2N}\sum_{n=-N}^{N}e^{i\frac{2n\pi}{2N}(z-w)}dw\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}f(w)\int_{-\infty}^{\infty}e^{i2\omega \pi(z-w)}d\omega dw\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}\{\int_{-\infty}^{\infty}f(w)e^{-i2\omega\pi w}dw\}e^{i2\omega\pi z}d\omega\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i2\omega\pi z}d\omega
\end{eqnarray}
上記の$\hat{f}(\omega)$の事をFourier変換と呼ぶ。
$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$を十分早く減衰する滑らかな関数とし、$\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i2\pi \omega x}dx$とすると
\begin{equation}
\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)
\end{equation}
[1]$F(x)\coloneqq\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(x+n)$とすると、これは周期$1$の関数なのでFourier級数$F(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_{n}e^{i2\pi nx}$を持ち、その係数は
\begin{eqnarray}
c_{n}&=&\int_{0}^{1}F(x)e^{-2\pi inx}dx\\
&=&\int_{0}^{1}\sum_{m\in\mathbb{Z}}f(x+m)e^{-i2\pi nx}dx\\
&=&\sum_{m\in\mathbb{Z}}\int_{0}^{1}f(x+m)e^{-i2\pi nx}dx\\
&=&\sum_{m\in\mathbb{Z}}\int_{m}^{m+1}f(x)e^{-i2\pi nx}dx\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i2\pi nx}dx\\
&=&\hat{f}(n)
\end{eqnarray}
[2]$x=0$とすると
\begin{eqnarray}
F(0)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)\\
&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)
\end{eqnarray}
\begin{equation} \forall z\in\mathbb{H}:\forall b\in\mathbb{C}:\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\pi(zx^{2}+2bx)}dx=(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi b^{2}}{z}} \end{equation}
[1]
$z=i\tau$とすると
\begin{eqnarray}
i\pi(zx^{2}+2bx)&=&i\pi z(x+\frac{b}{z})^{2}-\frac{i\pi b^{2}}{z}\\
&=&-\pi \tau(x-\frac{ib}{\tau})^{2}-\frac{\pi b^{2}}{\tau}
\end{eqnarray}
[2]以下の積分路を考える。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
C_{0}=[-R,R]\\
C_{1}=\{z=x+iy|x=R,0\leq y\leq \frac{b}{\tau}\}\\
C_{2}=[-R,R]+iy\\
C_{3}=\{z=x+iy|x=-R,0\leq y\leq \frac{b}{\tau}\}\\
\Gamma_{R}=C_{0}\cup C_{1}\cup C_{2}\cup C_{3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
すると$f(z)=i\pi(zx^{2}+2bx)$について$f(z)\overset{\mathrm{Re}(z)\rightarrow\infty}\rightarrow 0$なのでChucyの積分定理より
\begin{eqnarray}
\int_{\Gamma_{R}}f(z)dz&=&\int_{C_{0}}f(z)dz+\int_{C_{1}}f(z)dz+\int_{C_{2}}f(z)dz+\int_{C_{3}}f(z)dz\\
&\overset{R\rightarrow\infty}\rightarrow&\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz-\int_{-\infty+\frac{ib}{\tau}}^{\infty+\frac{ib}{\tau}}f(z)\\
&=&0
\end{eqnarray}
故に
\begin{eqnarray}
\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz&=&\int_{-\infty+\frac{ib}{\tau}}^{\infty+\frac{ib}{\tau}}f(z)\\
&=&e^{-\frac{\pi b^{2}}{\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi \tau x^{2}}dx\quad(y=(\pi \tau)^{\frac{1}{2}}x)\\
&=&(\pi \tau)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{\pi b^{2}}{\tau}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\\
&=&\tau^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{\pi b^{2}}{\tau}}\\
&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi b^{2}}{z}}
\end{eqnarray}
[3]$b\in\mathbb{C}$を固定して考える。
$z\in\mathbb{H}$で正則かつ、虚軸上で常に成り立つ事から一致の定理より$\forall z\in \mathbb{H}:\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz=(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi b^{2}}{z}}$が成り立つ。
さらに両辺は$b$について整関数なので任意の$b\in\mathbb{C}$でも成り立つ。
\begin{equation} \theta(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})=\sqrt{-iz}e^{\frac{i\pi w^{2}}{z}}\theta(z,w) \end{equation}
$f(x)\coloneqq e^{i\pi x^{2}z}e^{i2\pi xw}$と置くと、$\theta(z,w)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)$が成り立つ。
またFourier変換では下記のように計算できる。
\begin{eqnarray}
\hat{f}(\omega)&=&\int_{-\infty}^{\infty}f(z)e^{-i2\pi \omega x}dx\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\pi \{zx^{2}+2(w-\omega)x\}}dx\\
&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi(w-\omega)^{2}}{z}}
\end{eqnarray}
故にPoissonの和公式より求める式を得る。
\begin{eqnarray}
\theta(z,w)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{f}(n)\\
&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\frac{i\pi(w-n)^{2}}{z}}\\
&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi w^{2}}{z}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-\frac{i\pi n^{2}}{z}}e^{\frac{i2\pi nw}{z}}\\
&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi w^{2}}{z}}\theta(\frac{1}{z},\frac{w}{z})
\end{eqnarray}
正整数$m\in\mathbb{Z}_{\gt0}$と$\mu\in \mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}$に対し以下の様な級数を考える。
\begin{equation}
\theta_{m,\mu}(z,w)\coloneqq\sum_{\substack{n\in\mathbb{Z}\\ n\equiv \mu\quad(\mathrm{mod}\ 2m)}}q^{\frac{n^{2}}{4m}}\zeta^{n}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{(\mu+2mn)^{2}}{4m}}\zeta^{\mu+2mn}
\end{equation}
正整数$m\in\mathbb{Z}_{\gt0}$と$\mu\in \mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}$に対し定まる指数付きテータ関数$\theta_{m,\mu}$について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\forall \nu,\lambda\in\mathbb{Z}:\forall z\in\mathbb{H}:\forall w\in\mathbb{C}:\theta_{m,\mu}(z,w+\lambda z+\nu)=e^{-i2\pi m(\lambda^{2}z+2\lambda w)}\theta_{m,\mu}(z,w)
\end{equation}
[1]
\begin{eqnarray}
\zeta(w+\nu)&=&e^{i2\pi (w+\nu)}\\
&=&e^{i2\pi w}e^{i2\pi\nu}\\
&=&e^{i2\pi w}=\zeta(w)
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\zeta(w+\lambda z)&=&e^{i2\pi(w+\lambda z)}\\
&=&e^{i2\pi w}\\
&=&e^{i2\pi \lambda z}\zeta(w)\\
&=&q^{\lambda}\zeta
\end{eqnarray}
[3]
\begin{eqnarray}
\theta_{m,\mu}(z,w+\lambda z+\nu)&=&\sum_{\substack{n\in\mathbb{Z}\\n\equiv \mu\quad(\mathrm{mod}\ 2m)}}q^{\frac{n^{2}}{4m}}(q^{\lambda}\zeta)^{n}\\
&=&\sum_{\substack{n\in\mathbb{Z}\\n\equiv \mu\quad(\mathrm{mod}\ 2m)}}q^{\frac{n^{2}}{4m}+\lambda n}\zeta^{n}\\
&=&\sum_{\substack{n\in\mathbb{Z}\\n\equiv \mu\quad(\mathrm{mod}\ 2m)}}q^{\frac{1}{4m}(n+2m\lambda)^{2}-m\lambda^{2}}\zeta^{n}\\
&=&q^{-m\lambda^{2}}\zeta^{-2m\lambda}\sum_{\substack{n\in\mathbb{Z}\\n\equiv \mu\quad(\mathrm{mod}\ 2m)}}q^{\frac{1}{4m}(n+2m\lambda)^{2}}\zeta^{n+2m\lambda}\\
&=&e^{-i2\pi m\lambda^{2}z-i4\pi m\lambda w}\sum_{\substack{n\in\mathbb{Z}\\n\equiv \mu\quad(\mathrm{mod}\ 2m)}}q^{\frac{1}{4m}(n)^{2}}\zeta^{n}\\
&=&e^{-i2\pi m(\lambda^{2} z+2\lambda w)}\theta(z,w)
\end{eqnarray}
ただし$n+2m\lambda\equiv n\quad(\mathrm{mod}\ 2m)$を用いた。
実数$a,b\in\mathbb{R}$をパラメータに持つ次の関数を定義する。
\begin{eqnarray}
\theta_{a,b}:\mathbb{H}\times \mathbb{C}\ni(z,w)\mapsto \sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{i\pi(n+a)^{2}z+i2\pi(n+a)(w+b)}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{1}{2}(n+a)^{2}}\zeta^{n+a}e^{i2\pi(n+a)b}
\end{eqnarray}
これを指標付き$\theta$関数と言う。
実数$a,b\in\mathbb{R}$をパラメータに持つ指標付き$\theta$関数について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\forall z\in\mathbb{H}:\forall w\in\mathbb{C}:\theta_{a,b}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})=\sqrt{-iz}e^{\frac{i\pi w^{2}}{z}}e^{i2\pi ab}\theta_{b,-a}(z,w)
\end{equation}
[1]$g(x)\coloneqq e^{i\pi(x+a)^{2}z+i2\pi(x+a)(w+b)}$の様におく。すると$\theta_{ab}(z,w)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)$が成り立つ。
[2]
\begin{eqnarray}
\hat{g}(\omega)&=&\int_{-\infty}^{\infty}g(x)e^{-i2\pi \omega x}dx\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\pi(x+a)^{2}z+i2\pi(x+a)(w+b)-i2\pi \omega x}dx\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\pi zx^{2}+i2(w+b)\pi x-i2\pi \omega(x-a)}dx\\
&=&e^{i2\pi a\omega}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\pi zx^{2}+i2(w+b-\omega)\pi x}dx\\
&=&e^{i2\pi a\omega}(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi (b+w-\omega)^{2}}{z}}
\end{eqnarray}
[3]Poissonの和公式より
\begin{eqnarray}
\theta_{b,-a}(z,w)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}\hat{g}(n)\\
&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{i2\pi b n}e^{-\frac{i\pi (-a+w-n)^{2}}{z}}
\end{eqnarray}
を得る。
これから
\begin{eqnarray}
i2\pi bn-\frac{i\pi (-a+w-n)^{2}}{z}&=&-\frac{i\pi n^{2}}{z}+2i\pi(b+\frac{w-a}{z})n-\frac{i\pi(w-a)^{2}}{z}\\
&=&i\pi(n+a)^{2}(-\frac{1}{z})+2i\pi(b+\frac{w}{z})n-\frac{i\pi(w^{2}-2aw)}{z}\\
&=&-\frac{i\pi w^{2}}{z}+i\pi(n+a)^{2}(-\frac{1}{z})+i2\pi\{(b+\frac{w}{z})n+a\frac{w}{z}\}\\
&=&-(i2\pi ab+\frac{i\pi w^{2}}{z})+i\pi(n+a)^{2}(-\frac{1}{z})+i2\pi\{(b+\frac{w}{z})n+a(b+\frac{w}{z})\}\\
&=&-(i2\pi ab+\frac{i\pi w^{2}}{z})+i\pi(n+a)^{2}(-\frac{1}{z})+i2\pi(n+a)(b+\frac{w}{z})
\end{eqnarray}
故に
\begin{eqnarray}
\theta_{b,-a}(z,w)&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi w^{2}}{z}-i2\pi ab}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{i\pi(n+a)^{2}(-\frac{1}{z})+i2\pi(n+a)(b+\frac{w}{z})}\\
&=&(-iz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i\pi w^{2}}{z}-i2\pi ab}\theta_{a,b}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})
\end{eqnarray}
以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\forall z\in\mathbb{H}:\eta(-\frac{1}{z})=\sqrt{-iz}\eta(z)
\end{equation}
[1]$\theta_{1}(z,w)\coloneqq\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^{n}q^{\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2})^{2}}\zeta^{n+\frac{1}{2}}$とすると以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\theta_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(z,w)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2})^{2}}\zeta^{n+\frac{1}{2}}e^{i2\pi(n+\frac{1}{2})\frac{1}{2}}\\
&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2})^{2}}\zeta^{n+\frac{1}{2}}e^{i\pi(n+\frac{1}{2})}\\
&=&i\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^{n}q^{\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2})^{2}}\zeta^{n+\frac{1}{2}}\\
&=&i\theta_{1}(z,w)
\end{eqnarray}
また
\begin{eqnarray}
\theta_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}(z,w)&=&\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{\frac{1}{2}(z+\frac{1}{2})^{2}}\zeta^{n+\frac{1}{2}}e^{i2\pi(n+\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})}\\
&=&-i\theta_{1}(z,w)
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\theta_{1}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})&=&i\theta_{\frac{1}{2},\frac{1}{2}}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})\\
&=&-(-iz)^{\frac{1}{2}}e^{\frac{i\pi w^{2}}{z}}\theta_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}(z,w)\\
&=&-i(-iz)^{\frac{1}{2}}e^{\frac{i\pi w^{2}}{z}}\theta_{1}(z,w)
\end{eqnarray}
[3]変形Jacobi三重積より$\lambda=\frac{1}{2},z=-\zeta$とすると以下の式を得る。
\begin{eqnarray}
\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1-\zeta q^{m})(1-\zeta^{-1}q^{m-1})&=&q^{-\frac{1}{8}}\zeta^{-\frac{1}{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^{n}q^{\frac{1}{2}(n+\frac{1}{2})^{2}}\zeta^{n+\frac{1}{2}}\\
&=&q^{-\frac{1}{8}}\zeta^{-\frac{1}{2}}\theta_{1}(z,w)
\end{eqnarray}
[4]
\begin{eqnarray}
\theta_{1}(z,w)&=&q^{\frac{1}{8}}\zeta^{\frac{1}{2}}\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1-\zeta q^{m})(1-\zeta^{-1}q^{m-1})\\
&=&q^{\frac{1}{8}}e^{i\pi w}\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1-e^{i2\pi w}q^{m})(1-e^{-i2\pi w}q^{m-1})\\
&=&q^{\frac{1}{8}}e^{i\pi w}(1-e^{-i2\pi w})\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1-e^{i2\pi w}q^{m})(1-e^{-i2\pi w}q^{m})\\
&=&i2q^{\frac{1}{8}}\sin{(\pi w)}\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1-e^{i2\pi w}q^{m})(1-e^{-i2\pi w}q^{m})
\end{eqnarray}
より$\theta_{1}(z,0)=0$
[5]両辺$w$で変微分すると
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \theta_{1}(z,w)}{\partial w}|_{w=0}&=&i2\pi q^{\frac{1}{8}}\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})(1-q^{m})(1-q^{m})\\
&=&i2\pi q^{\frac{1}{8}}\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{m})^{3}\\
&=&i2\pi \eta(z)^{3}
\end{eqnarray}
[6][2]で得られた式の両辺を$w$に関して微分する。ただし$\frac{\partial}{\partial w}\theta(z,w)=\theta^{'}(z,w)$の様におく。すると
\begin{eqnarray}
\frac{1}{z}\theta_{1}^{'}(-\frac{1}{z},0)&=&\frac{1}{z}\theta_{1}^{'}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})|_{w=0}\\
&=&-i(-iz)^{\frac{1}{2}}e^{\frac{i\pi w^{2}}{z}}\{\frac{i2\pi w}{z}\theta_{1}(z,w)+\theta_{1}^{'}(z,w)\}|_{w=0}\\
&=&-i(-iz)^{\frac{1}{2}}\theta_{1}^{'}(z,0)
\end{eqnarray}
[7]上記をまとめると
\begin{eqnarray}
\eta(-\frac{1}{z})^{3}&=&-iz(-iz)^{\frac{1}{2}}\eta(z)^{3}\\
&=&(-iz)^{\frac{3}{2}}\eta(z)^{3}
\end{eqnarray}
すると$z=i$とすれば両辺一致するので、
\begin{equation}
\eta(-\frac{1}{z})=(-iz)^{\frac{1}{2}}\eta(z)
\end{equation}
Jacobi形式
重さ$k\in\mathbb{Z}$と指数$m\in\mathbb{Z}_{\gt 0}$に対して正則関数$\varphi:\mathbb{H}\times \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$がJacobi形式であるとは以下の3条件を満たす事である。
(1)
\begin{equation}
\forall \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{C}):\varphi(\frac{az+b}{cz+d},\frac{z}{cz+d})=(cz+d)^{k}e^{i2\pi m\frac{cw^{2}}{cz+d}}\varphi(z,w)
\end{equation}
(2)
\begin{equation}
\forall \mu,\lambda\in\mathbb{Z}: \varphi(z,w+\lambda z+\mu)=e^{-i2\pi m}(\lambda^{2}z+2\lambda w)\varphi(z,w)
\end{equation}
(3)$\sum_{n,r}c(n,r)q^{n}\zeta^{r}$が$4nm-r^{2}\geq 0$の項のみを持つ。
$\theta_{m,\mu}(z,w)$がJacobi形式である事を証明せよ。
$\theta$分解定理
ここまで読んだ読者よく頑張ったね。
最後のメインディッシュとして、指数$m$のJacobi形式は必ず指数$m$の$\theta$関数の一次結合で書けることを示す。
$\varphi_{m,k}$を重さ$k$指数$m$のJacobi形式とする。この時、$z$に依存しない正則関数の族$(h_{\mu})_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}$がただ1組存在して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\varphi_{m,k}(z,w)=\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}h_{\mu}(z)\theta_{m,\mu}(z,w)
\end{equation}
さらに、$(h_{\mu})$は重さ$k-\frac{1}{2}$のベクトル値モジュラー形式をなす。
[存在性]
[1]$\mu=1,\lambda=0$とすると
\begin{eqnarray}
\varphi_{m,k}(z,w+1)&=&\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}h_{\mu}(z)\theta_{m,\mu}(z,w+1)\\
&=&\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}h_{\mu}(z)\theta_{m,\mu}(z,w)\\
&=&\varphi_{m,k}(z,w)
\end{eqnarray}
故に$\theta_{m,\mu}(z,w)$は$z$に関して周期$1$を持つ関数である事から、$\varphi(z,w)$は両変数に関して周期$1$を持つ。
つまり次のようにFourier展開ができる。
\begin{eqnarray}
\varphi(z,w)=\sum_{n,r\in\mathbb{Z}}c(n,r)q^{n}\zeta^{r}
\end{eqnarray}
[2]さらに$\mu=0,\lambda=1$の場合は
\begin{eqnarray}
\varphi_{m,k}(z,w+z)&=&\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}h_{\mu}(z)\theta_{m,\mu}(z,w+z)\\
&=&e^{-i2\pi m(z+2w)}\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}h_{\mu}(z)\theta_{m,\mu}(z,w)\\
&=&q^{-m}\zeta^{-2m}\varphi_{m,k}(z,w)
\end{eqnarray}
[3]両辺Fourier展開して
\begin{eqnarray}
\varphi_{m,k}(z,w+z)&=&\sum_{n,r}c(n,r)q^{n+r}\zeta^{r}\\
&=&\sum_{n,r}c(n,r)q^{n-m}\zeta^{r-2m}
\end{eqnarray}
両辺の$q^{M}\zeta^{N}$の係数を比較して以下の式を得る。
\begin{equation}
\forall n,r\in\mathbb{Z}: c(n,r)=c(n+r+m,r+2m)
\end{equation}
また、$\theta_{m,\mu}(z,w)$について、$\zeta$の冪は$r\equiv \mu\quad (\mathrm{mod}\ 2m)$なので$r\mapsto r+2m$で値は不変になる。
Jacobi形式の(3)について計算すると$(n,r)\mapsto(n+r+m,r+2m)$に対して不変な量$D$が得られる。
\begin{eqnarray}
D&=&4(n+r+m)m-(r+2m)^{2}\\
&=&4mn+4mr+4m^{2}-4m^{2}-4mr-r^{2}\\
&=&4mn-r^{2}
\end{eqnarray}
[4]よって、次の様に書くことができる。
\begin{eqnarray}
\varphi_{m,k}(z,w)&=&\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}\sum_{r\equiv \mu\mathrm{mod}\ 2m}\sum_{n\in\mathbb{Z}}c(n,r)q^{n}\zeta^{r}\\
&=&\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}\sum_{r\equiv \mu\mathrm{mod}\ 2m}\sum_{D\in\mathbb{Z}}c_{\mu}(D)q^{\frac{D}{4m}}q^{\frac{r^{2}}{4m}}\zeta^{r}\\
&=&\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}\sum_{D\in\mathbb{Z}}c_{\mu}(D)q^{\frac{D}{4m}}\sum_{r\equiv \mu\ \mathrm{mod}\ 2m}q^{\frac{r^{2}}{4m}}\zeta^{r}\\
&=&\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}\sum_{D\in\mathbb{Z}}c_{\mu}(D)q^{\frac{D}{4m}}\theta_{m,\mu}(z,w)
\end{eqnarray}
すなわち$h_{\mu}(z)=\sum_{D\in\mathbb{Z}}c_{\mu}(D)q^{\frac{D}{4m}}$
[$\theta_{m,\mu}(z,w)$の一次独立性]
[1]$z\in\mathbb{H}$を固定し以下の恒等式を考える。
\begin{equation}
\exists \{c_{\mu}\}_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}\subset\mathbb{C}\ s.t.\ F(w)\coloneqq\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}c_{\mu}\theta_{m,\mu}(z,w)\equiv 0
\end{equation}
[2]定義より$\theta_{m,\mu}(z,w)=\sum_{\substack{r\in\mathbb{Z}\\r\equiv \mu\ \mathrm{mod}\ 2m}}q^{\frac{r^{2}}{4m}}\zeta^{r}$を代入すると
\begin{equation}
F(w)=\sum_{r\in\mathbb{Z}}a_{r}(q)\zeta^{r}\quad(a_{r}(q)\coloneqq c_{r\ \mathrm{mod}\ 2m}q^{\frac{r^{2}}{4m}})
\end{equation}
ちなみにこの級数は$w\in D\coloneqq\{z\in\mathbb{C}||z|\leq 1\}$の範囲で考えたとき
\begin{equation}
|a_{r}\zeta^{r}|\leq|c_{r\ \mathrm{mod}\ 2m}|e^{-2\pi r^{2}\Im{z}}\coloneqq M_{r}
\end{equation}
故に$c\coloneqq\max(c_{0},c_{1},...,c_{2m-1})$として
\begin{eqnarray}
|F(w)|&\leq&\sum_{r\in\mathbb{Z}}M_{r}\\
&\leq&c\sum_{r\in\mathbb{Z}}e^{-2\pi r^{2}\Im{w}}
\end{eqnarray}
故に$\Im{z}\gt 0,w\in D$で絶対収束することが分かる。
[3]$\Im{z}\gt 0,w\in D$で$F(w)$が絶対収束すること利用すると項別積分が区間$[0,1]$で行えるので
\begin{eqnarray}
a_{r}=\int_{0}^{1}F(x)e^{-i 2\pi rx}dx
\end{eqnarray}
[4]また仮定より$F\equiv 0$なので$\forall r\in\mathbb{Z}:a_{r}=0$
従って$\forall\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}:c_{\mu}q^{\frac{\mu^{2}}{4m}}=0$を得る。$q^{\frac{\mu^{2}}{4m}}=e^{i\frac{\pi \mu^{2}z}{2m}}\neq0$なので$\forall\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}:c_{\mu}=0$
[$h_{\mu}(z)$の重さは$k-\frac{1}{2}$]
[1]$\theta_{m,n}(z+1,w)=e^{\frac{i\pi\mu^{2}}{2m}}\theta_{m,n}(z,w)$
[2]$S$変換をPoisson和公式で出す。
実際$f(x)\coloneqq e^{i2\pi z\frac{(\mu+2mx)^{2}}{4m}}e^{i2\pi w(\mu+2mx)}$の様におくと$\theta_{m,\mu}(z,w)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)$が成り立つ。
さらにForier変換を施すことで以下の結果得られる。
\begin{eqnarray}
\hat{f}(\omega)&=&\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i2\pi\omega x}dx\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{i2\pi z\frac{(\mu+2mx)^{2}}{4m}}e^{i2\pi w(\mu+2mx)}e^{-i2\pi\omega x}dx\\
&=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{i2\pi z\frac{(\mu+2mx)^{2}}{4m}}e^{i2\pi(2mw-\omega)x+i2\pi\mu w}dx\quad(y=\mu+2m x)\\
&=&\frac{1}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i2\pi z\frac{y^{2}}{4m}+i2\pi(2mw-\omega)\frac{y-\mu}{2m}+i2\pi\mu w}dy\\
&=&\frac{1}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\pi \frac{z}{2m}y^{2}+i2\pi(w-\frac{\omega}{2m})y+i2\pi\mu w-i2\pi \mu(w-\frac{\omega}{2m})}dy\\
&=&\frac{1}{2m}e^{i2\pi\mu w-i2\pi \mu(w-\frac{\omega}{2m})}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\pi \frac{z}{2m}y^{2}+i2\pi(w-\frac{\omega}{2m})y}dy\\
&=&(-i2mz)^{-\frac{1}{2}}e^{\frac{i\pi\mu\omega}{m}}e^{-\frac{i2m\pi(w-\frac{\omega}{2m})^{2}}{z}}\\
\end{eqnarray}
故に以下の級数を得る。
\begin{eqnarray}
\theta_{m,\mu}(z,w)&=&(-i2mz)^{-\frac{1}{2}}\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{\frac{i\pi\mu n}{m}}e^{-\frac{i2m\pi(w-\frac{n}{2m})^{2}}{z}}\\
&=&(-i2mz)^{-\frac{1}{2}}\sum_{\nu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{\frac{i\pi\mu\nu}{m}}\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-\frac{i2\pi m}{z}(w-k-\frac{\nu}{2m})^{2}}
\end{eqnarray}
$S_{\nu}\coloneqq\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-\frac{i2\pi m}{z}(w-k-\frac{\nu}{2m})^{2}}$とする。また$r\coloneqq \nu+2km$とおく。
\begin{eqnarray}
-\frac{i2\pi m}{z}(w-\frac{r}{2m})^{2}&=&-\frac{i2\pi m w^{2}}{z}+\frac{i2\pi w}{z}r-\frac{i\pi}{2mz}r^{2}
\end{eqnarray}
上記の値を用いると
\begin{eqnarray}
S_{\nu}&=&\sum_{k\in\mathbb{Z}}e^{-\frac{i2\pi m}{z}(w-k-\frac{\nu}{2m})^{2}}\\
&=&e^{-\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\sum_{r\equiv \nu\ \mathrm{mod}\ 2m}e^{i2\pi(-\frac{1}{z})\frac{r^{2}}{4m}+i2\pi(\frac{w}{z})r}\\
&=&e^{-\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\theta_{m,\nu}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})
\end{eqnarray}
これを代入して以下の式を得る。
\begin{equation}
\theta_{m,\mu}(z,w)=(-i2mz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\sum_{\nu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{\frac{i\pi\mu\nu}{m}}\theta_{m,\nu}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})
\end{equation}
さらに両辺$e^{-\frac{i\pi \mu\nu^{'}}{m}}$をかけ$\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}$全体で総和を取ると
\begin{eqnarray}
\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{\frac{i\pi\mu(\nu-\nu^{'})}{m}}=2m\delta_{\nu,\nu^{'}}
\end{eqnarray}
以下のように書けるので
\begin{eqnarray}
\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{-\frac{i\pi \mu\nu^{'}}{m}}\theta_{m,\mu}(z,w)=2m(-i2mz)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\theta_{m,\nu^{'}}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})
\end{eqnarray}
整理して
\begin{equation}
\theta_{m,\nu}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})=(-\frac{iz}{2m})^{\frac{1}{2}}e^{\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{-\frac{i\pi \mu\nu}{m}}\theta_{m,\mu}(z,w)
\end{equation}
[3]仮定より$\varphi_{m,k}$はJacobi形式なので$\varphi_{m,k}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})=z^{k}e^{\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\varphi_{m,k}(z,w)$
[4]
\begin{eqnarray}
\varphi_{m,k}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})&=&\sum_{\nu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}h_{\nu}(-\frac{1}{z})\theta_{m,\nu}(-\frac{1}{z},\frac{w}{z})\\
&=&(-\frac{iz}{2m})^{\frac{1}{2}}e^{\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}\{\sum_{\nu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{-\frac{i\pi \mu\nu}{m}}h_{\nu}(-\frac{1}{z})\}\theta_{m,\mu}(z,w)\\
&=&z^{k}e^{\frac{i2\pi mw^{2}}{z}}\sum_{\mu\in\mathbb{Z/2m\mathbb{Z}}}h_{\mu}(z)\theta_{m,\mu}(z,w)
\end{eqnarray}
$\theta_{m,\mu}(z,w)$各々は一次独立なので係数を比較して
\begin{equation}
(-\frac{iz}{2m})^{\frac{1}{2}}\sum_{\nu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{-\frac{i\pi \mu\nu}{m}}h_{\nu}(-\frac{1}{z})=z^{k}h_{\mu}(z)
\end{equation}
さらに両辺$e^{\frac{i\pi\mu\nu^{'}}{m}}$をかけて総和をとる事で以下の様に変形する。
\begin{equation}
(-i2mz)^{\frac{1}{2}}h_{\nu^{'}}(-\frac{1}{z})=z^{k}\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{\frac{i\pi\mu\nu^{'}}{m}}h_{\mu}(z)
\end{equation}
さらに整理して以下の式を得るので$h_{\mu}(z)$の重さは$k-\frac{1}{2}$である事が示せた。
\begin{equation}
h_{\nu}(-\frac{1}{z})=e^{i\frac{\pi}{4}}z^{k-\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{2m}}\sum_{\mu\in\mathbb{Z}/2m\mathbb{Z}}e^{\frac{i\pi\mu\nu}{m}}h_{\mu}(z)
\end{equation}
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