有限体とユニタリ行列

教えてほしいこと

有限体を用いてユニタリ行列を作ってみました。
作り方が面白かったので、
作った行列の名称が知りたいです。

作り方と証明

準備

${\mathbb{F}}_q$を位数$q$の有限体
ただし$q>2$
$\theta (a)$を${\mathbb{F}}_q$の非自明な複素乗法指標とします。ただし$\theta (0)=0$

${\mathbb{F}}_q$上の$2$次元ベクトル空間を${\mathbb{F}}_q^2$
${\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)$を${\mathbb{F}}_q$上の射影直線（$2$つの元のなす比全体）
射影直線
$p$を射影直線への自然な全射
$p:{\mathbb{F}}_q^2-\{0,0\}⟶{\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)$
とします。

$V$と$W$を$p$の切断
$\mathrm{\forall }A\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)$ $p(W(A))=A$
$\mathrm{\forall }A\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)$ $p(V(A))=A$
とします。

$\overline{A}=(a_1,a_2)\in {\mathbb{F}}_q^2$
$\overline{B}=(b_1,b_2)\in {\mathbb{F}}_q^2$の時
$⟨\overline{A},\overline{B}⟩$を
$⟨\overline{A},\overline{B}⟩=a_1{b}_1+a_2{b}_2$とします。

性質$1$

$p$の切断

$p$の任意の$2$つの切断$W(A)$と$V(A)$に対して、
$Q(A)W(A)=V(A)$となる、$P$から ${\mathbb{F}}_q$の乗法群への写像$Q(A)$が存在する。

逆にそのような$Q(A)$が存在すれば、
$Q(A)W(A)$も切断となる。

特別な$p$の切断

特別な$p$の切断として次の$X([a_1,a_2])$があります。
${\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)$の元$[a_1,a_2]$に対して、
$X([a_1,a_2])=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}(\frac{a_1}{a_2},1)a_2\ne 0\\ (1,0)a_2=0\end{array}\end{array}$

値域は$(x,1)$ $x\in {\mathbb{F}}_q$と$(1,0)$です。

作り方

$q+1$次行列$U_{\theta ,V,W}$を下記で定義します。
$$U_{q,\theta ,V,W}={\left\{\frac{\theta (⟨V(A),W(B)⟩)}{\sqrt{q}}\right\}}_{A,B\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)}$$

ユニタリ性の証明

$$\sum _{B\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)}\frac{\theta (⟨V(A),W(B)⟩)}{\sqrt{q}}\overline{\frac{\theta (⟨V(C),W(B)⟩)}{\sqrt{q}}}$$
が
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1A=C\\ 0A\ne C\end{array}\end{array}$$ となればよい。
$V(A)=(a_1,a_2)$
$V(C)=(c_1,c_2)$
$W(B)=(b_1,b_2)$
とします。

代入して式変形すると、
$$\frac{1}{q}\sum _{B\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)}\theta (a_1{b}_1+a_2{b}_2)\overline{\theta (c_1{b}_1+c_2{b}_2)}$$

$W(B)=(b_1,b_2)$に$0$でない${\mathbb{F}}_q$の元$Q(B)$を掛けると、
$\theta (Q(B))\overline{\theta (Q(B))}=1$となること用いると、
$W(B)=X(B)$として一般性を失わない。
このため

$$\frac{\theta (a_1)\overline{\theta (c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_{1}x+a_2)\overline{\theta (c_{1}x+c_2)}$$

以下$a_1=0$の場合と$a_1\ne 0$の場合に分けて証明する。

$a_1=0$の場合

$$\frac{\theta (a_1)\overline{\theta (c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_{1}x+a_2)\overline{\theta (c_{1}x+c_2)}=$$
$$\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_2)\overline{\theta (c_{1}x+c_2)}$$

$c_1=0$の場合

$A=C$となるため、
$V(C)$の定義より、
$a_2=c_2$
$$\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_2)\overline{\theta (c_{1}x+c_2)}=$$

$$\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_2)\overline{\theta (c_2)}=\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}1=1$$
$$$$

$c_1\ne 0$の場合($A\ne C$)

$c_{1}x+c_2$は全単射のため、
$$\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_2)\overline{\theta (c_{1}x+c_2)}=$$
$$\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_2)\overline{\theta (x)}=0$$
最後は$\theta (x)$の非自明性より

$a_1\ne 0$の場合

$y=a_{1}x+a_2$とおいて代入すると、
$$\frac{\theta (a_1)\overline{\theta (c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum _{x\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_{1}x+a_2)\overline{\theta (c_{1}x+c_2)}=$$

$$\frac{\theta (a_1)\overline{\theta (c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum _{y\in {\mathbb{F}}_q}\theta (y)\overline{\theta ((\frac{y-a_2}{a_1})c_1+c_2)}=$$

$$\frac{\theta (a_1)\overline{\theta (c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum _{y\in {\mathbb{F}}_q}\theta (y)\theta (a_1)\overline{\theta (y{c}_1-a_2{c}_1+a_1{c}_2)}=$$
$$\begin{gathered} \frac{\theta (a_1)\overline{\theta (c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum _{y\in {\mathbb{F}}_q \\ ,y\ne 0}\theta (a_1)\overline{\theta (c_1+\frac{(a_1{c}_2-a_2{c}_1)}{y})}= \end{gathered}$$
$$\frac{1}{q}\sum _{y^{\prime }\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_1)\overline{\theta (c_1+y^{\prime }(a_1{c}_2-a_2{c}_1))}=$$

$a_1{c}_2-a_2{c}_1=0$の場合$(A=C)$

$A$と$C$は同じ比のため、
$a_1=c_1$
$$\frac{1}{q}\sum _{y^{\prime }\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_1)\overline{\theta (c_1)}=\frac{1}{q}\sum _{y^{\prime }\in {\mathbb{F}}_q}1=1$$

$a_1{c}_2-a_2{c}_1\ne 0$の場合$(A\ne C)$

$c_1+y^{\prime }(a_1{c}_2-a_2{c}_1)$は$y^{\prime }$に関して、全単射
$$\frac{1}{q}\sum _{y^{\prime }\in {\mathbb{F}}_q}\theta (a_1)\overline{\theta (y^{\prime })}=0$$
最後は$\theta (y^{\prime })$の非自明性より、

まとめ

以上より、
$$\sum _{B\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{F}}_q)}\frac{\theta (⟨V(A),W(B)⟩)}{\sqrt{q}}\overline{\frac{\theta (⟨W(B),V(C)⟩)}{\sqrt{q}}}=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1A=C\\ 0A\ne C\end{array}\end{array}$$ が成り立つ。
$U_{q,\theta ,V,W}$がユニタリ行列であることが証明できた。

研究したいこと

$U_{q,\theta ,V,W}$と単位行列たちがどのような特徴を持った集合か調べたい。