有限体とユニタリ行列

教えてほしいこと

有限体を用いてユニタリ行列を作ってみました。
作り方が面白かったので、
作った行列の名称が知りたいです。

作り方と証明

準備

$ \mathbb{F}_q $を位数$q$の有限体
ただし$q>2$
$θ(a)$を$\mathbb{F}_q $の非自明な複素乗法指標とします。ただし$θ(0)=0$

$ \mathbb{F}_q $上の$2$次元ベクトル空間を$\mathbb{F}_q^2$
$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$を$ \mathbb{F}_q $上の射影直線（$2$つの元のなす比全体）
射影直線
$p$を射影直線への自然な全射
$p:\mathbb{F}_q^2-\lbrace 0,0\rbrace \longrightarrow \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$
とします。

$V$と$W$を$p$の切断
$ \forall A \in \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$ $ p(W(A))=A$
$ \forall A \in \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$ $ p(V(A))=A$
とします。

$\bar A=(a_1,a_2)\in \mathbb{F}_q^2$
$\bar B=(b_1,b_2)\in \mathbb{F}_q^2$の時
$ \langle \bar A,\bar B \rangle$を
$\langle\bar A,\bar B\rangle=a_1b_1+a_2b_2$とします。

性質$1$

$p$の切断

$p$の任意の$2$つの切断$W(A)$と$V(A)$に対して、
$Q(A)W(A)=V(A)$となる、$P$から $\mathbb{F}_q$の乗法群への写像$Q(A)$が存在する。

逆にそのような$Q(A)$が存在すれば、
$Q(A)W(A)$も切断となる。

特別な$p$の切断

特別な$p$の切断として次の$ X([a_1,a_2]) $があります。
$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$の元$[a_1,a_2]$に対して、
$ X([a_1,a_2]) = \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (\frac{a_1}{a_2},1) \ \quad a_2\neq 0\\ (1,0) \quad \quad a_2= 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} $

値域は$(x,1)$ $x\in \mathbb{F}_q$と$(1,0)$です。

作り方

$q+1$次行列$U_{θ,V,W}$を下記で定義します。
$$U_{q,θ,V,W}=\left\lbrace \frac{θ(\langle V(A),W(B)\rangle)}{\sqrt q}\right\rbrace_{A,B\in \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)}$$

ユニタリ性の証明

$$\sum_{B\in \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)}\frac{θ(\langle V(A),W(B)\rangle)}{\sqrt q}\overline{\frac{θ(\langle V(C),W(B)\rangle)}{\sqrt q}}$$
が
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \quad A=C\\ 0 \quad \quad A\neq C \end{array} \right. \end{eqnarray} となればよい。
$ V(A)=(a_1,a_2)$
$ V(C)=(c_1,c_2)$
$W(B)=(b_1,b_2)$
とします。

代入して式変形すると、
$$\frac{1}{q}\sum_{B\in \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)}θ(a_1b_1+a_2b_2)\overline{θ(c_1b_1+c_2b_2)}$$

$W(B)=(b_1,b_2)$に$0$でない$ \mathbb{F}_q$の元$Q(B)$を掛けると、
$θ(Q(B))\overline{θ(Q(B))}=1$となること用いると、
$W(B)=X(B)$として一般性を失わない。
このため

$$\frac{θ(a_1)\overline{θ(c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_1x+a_2)\overline{θ(c_1x+c_2)}$$

以下$a_1=0$の場合と$a_1\neq 0$の場合に分けて証明する。

$a_1=0$の場合

$$\frac{θ(a_1)\overline{θ(c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_1x+a_2)\overline{θ(c_1x+c_2)}=$$
$$\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_2)\overline{θ(c_1x+c_2)}$$

$c_1=0$の場合

$A=C$となるため、
$ V(C)$の定義より、
$a_2=c_2$
$$\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_2)\overline{θ(c_1x+c_2)}=$$

$$\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_2)\overline{θ(c_2)}=\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}1=1$$
$$ $$

$c_1\neq 0$の場合($A\neq C $)

$c_1x+c_2$は全単射のため、
$$\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_2)\overline{θ(c_1x+c_2)}=$$
$$\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_2)\overline{θ(x)}=0$$
最後は$θ(x)$の非自明性より

$a_1\neq 0$の場合

$y=a_1x+a_2$とおいて代入すると、
$$\frac{θ(a_1)\overline{θ(c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum_{x\in \mathbb{F}_q}θ(a_1x+a_2)\overline{θ(c_1x+c_2)}=$$

$$\frac{θ(a_1)\overline{θ(c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum_{y\in \mathbb{F}_q}θ(y)\overline{θ((\frac{y-a_2}{a_1})c_1+c_2)}=$$

$$\frac{θ(a_1)\overline{θ(c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum_{y\in \mathbb{F}_q}θ(y)θ(a_1)\overline{θ(yc_1-a_2c_1+a_1c_2)}=$$
$$\frac{θ(a_1)\overline{θ(c_1)}}{q}+\frac{1}{q}\sum_{y\in \mathbb{F}_q \\ ,y\neq 0}θ(a_1)\overline{θ(c_1+\frac{(a_1c_2-a_2c_1)}{y})}=$$
$$\frac{1}{q}\sum_{y'\in \mathbb{F}_q }θ(a_1)\overline{θ(c_1+y'(a_1c_2-a_2c_1))}=$$

$a_1c_2-a_2c_1=0$の場合$(A=C)$

$A$と$C$は同じ比のため、
$a_1=c_1$
$$\frac{1}{q}\sum_{y'\in \mathbb{F}_q }θ(a_1)\overline{θ(c_1)}=\frac{1}{q}\sum_{y'\in \mathbb{F}_q }1=1$$

$$ $$

$a_1c_2-a_2c_1\neq 0$の場合$(A\neq C)$

$c_1+y'(a_1c_2-a_2c_1)$は$y'$に関して、全単射
$$\frac{1}{q}\sum_{y'\in \mathbb{F}_q }θ(a_1)\overline{θ(y')}=0$$
最後は$θ(y')$の非自明性より、

まとめ

以上より、
$$\sum_{B\in \mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)}\frac{θ(\langle V(A),W(B)\rangle)}{\sqrt q}\overline{\frac{θ(\langle W(B),V(C)\rangle)}{\sqrt q}}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \quad \quad A=C\\ 0 \quad \quad A\neq C \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ が成り立つ。
$U_{q,θ,V,W}$がユニタリ行列であることが証明できた。

研究したいこと

$U_{q,θ,V,W}$と単位行列たちがどのような特徴を持った集合か調べたい。