二等辺三角形で思いついたこと

はじめに
これが初めての投稿なので分かりにくいところは多々あると思います。思いついたことを書いているだけなので気になった方がいましたらぜひ解いてみてください。活用方法はわかりません。

考え
AB=ACで長さa、∠BAC=θの二等辺三角形の垂線と中線がそれぞれ交わる辺AB、辺ACにおいて
2つの交点の間の長さxは
x=|a(cosθ-1/2)|(0<θ<2π)

証明
二等辺三角形ABC AB=AC
AB=a ∠BAC=θ 重心G
線AGと線分BCの交点をDとして
ADを求める
a^2=AD^2+(asinθ)^2
AD=a/2^1/2(1+cosθ)^1/2
BGを求める
GD=1/3AD
BG^2={asin(θ/2)}^2 +{a/3×cos(θ/2)}^2
BG=a/3(5-4cosθ)^1/2
線BGと線分ACの交点をEとしたとき
BEはa/2(5-4cosθ)^1/2
となる
次に面積からACを底辺とした時のBを通る垂線Hを求める
△ABC=1/2×a×H
H=asinθ
このときのxは
x^2=BE^2+H^2
x=|a(cosθ-1/2)|