内接円に接する円(Feuerbach円じゃないよ)

こんにちは！今回は最近僕が幾何で遊んでたら見つけた面白いものを紹介します。
反転の基本的な性質を押さえておけば記事を読むのに問題ないと思います。

主定理

三角形$ABC$に対して, 接触三角形を$PQR$, 傍心三角形を$I_{A}I_{B}I_{C}$とし, 線分$PI_{A}, QI_{B}, RI_{C}$の中点をそれぞれ$M_{A},M_{B},M_{C}$とすると, 円$M_{A}BC, M_{B}AC, M_{C}AB$は三角形$ABC$の内接円$\omega$に接する.

以下, $\triangle{PQR}$の中点三角形を$N_{A}N_{B}N_{C}$とします。
反転を用いて証明します。この定理の証明に使う補題を示します。

点$B,N_{B},N_{C},C$と点$A,N_{A},N_{C},C$と点$A,N_{A},N_{B},B$はそれぞれ共円である.

$\triangle{RIN_{A}}\sim \triangle{AIR}$であるので, $$IN_{A}\cdot IA=IN_{A}\cdot IR\cdot \frac{IR}{IN_{A}}=IR^{2}$$
が成り立つので$\omega$による反転を施すと点$A$は$N_{A}$に移る. $B,C$についても同様. 反転の基本性質より補題を得る.

点$M_{A}$は円$BN_{B}N_{C}C$の中心である.

$\angle{N_{B}BI_{A}}=\angle{BN_{B}P}=90^{\circ}$であるから線分$BN_{B}$の垂直二等分線は$M_{A}$を通る. 同様にして線分$CN_{C}$の垂直二等分線も$M_{A}$を通る.

円$BN_{B}N_{C}C$による反転を施すと, $\omega$はそれ自身に移る.

補題1の証明より得られる.

円$BN_{B}N_{C}C$による反転を施すと, 円$M_{A}BC$は直線$BC$に移る.

円$M_{A}BC$は円$BN_{B}N_{C}C$の中心を通るので, 反転後円$M_{A}BC$は円$BN_{B}N_{C}C$とそれの共軸に移り, それは直線$BC$に他ならない.

さて, 定理の証明に移ります.

円$BN_{B}N_{C}C$による反転を施した後の図形で考えればよく, 補題4, 補題5より$\omega$と直線$BC$が接することを示せばよく, これは定義より明らか. 円$M_{B}AC, M_{C}AB$についても同様.

僕のmathlogのアイコンになってる

進展…？

接点を$T_{A}, T_{B}, T_{C}$と置くと, 直線$AT_{A}, BT_{B}, CT_{C}$は共点となるんですよね. その共点の重心座標は

$$\frac{1}{(s-a)^{3}}:\frac{1}{(s-b)^{3}}:\frac{1}{(s-c)^{3}}$$

となり, これは$X(479)$になります.
ここでETCの$X(479)$のところを見てみると,

“Let $A’$ be the point in which the incircle is tangent to a circle that passes through vertices $B$ and $C$, and define $B'$ and $C’$ cyclically. The lines $AA’$, $BB’$, $CC’$ concur in $X(479)$.”