余弦定理の四面体ver.
概要
三平方の定理と，その一般化である余弦定理は有名ですね．
$C=90\degree$の直角三角形$ABC$について，次式が成り立つ：
$$
c^2=a^2+b^2.
$$
ただし，3辺$BC,CA,AB$の長さを$a,b,c$とした．
略．
（$C=90\degree$とは限らない）$\triangle ABC$について，次式が成り立つ：
$$
c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}.
$$
ただし，3辺$BC,CA,AB$の長さを$a,b,c$とした．
略．
また互いに直交する3面をもつ四面体については，三平方の定理と同様の式が成り立つこともよく知られています．
$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=90\degree$の四面体$OABC$について，次式が成り立つ：
$$
|\triangle ABC|^2=|\triangle AOB|^2+|\triangle BOC|^2+|\triangle COA|^2.
$$
ただし，平面図形$F$の面積を$|F|$とした．
頑張れば示せるが，次の定理の系として従うので略．
すると，三平方の定理を余弦定理に一般化したのと同じように，公式3を一般の四面体に対する公式へと一般化できないだろうか？という疑問が生じます．
これは実際に可能なので，その公式を紹介したいと思います．
四面体$OABC$について，2平面$OCA$と$OAB$，$OAB$と$OBC$，$OBC$と$OCA$がなす角をそれぞれ$\alpha,\beta,\gamma$とする．
このとき，次式が成り立つ：
\begin{align*}
|\triangle ABC|^2
&= |\triangle OAB|^2+|\triangle OBC|^2+|\triangle OCA|^2 \\
&\qquad -2|\triangle OCA|\cdot|\triangle OAB|\cos{\alpha}-2|\triangle OAB|\cdot|\triangle OBC|\cos{\beta}-2|\triangle OBC|\cdot|\triangle OCA|\cos{\gamma}.
\end{align*}
ただし，平面図形$F$の面積を$|F|$とした．
これの証明は本記事の最後に行い，まずそのための準備から始めます．
準備
空間ベクトルの外積
外積とは，2つの空間ベクトルから，それらの両方に直交する空間ベクトルを構成する操作である．
2つの空間ベクトル$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$に対して，外積$\vec{a}\times\vec{b}$を
$$
\vec{a}\times\vec{b}:=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)
$$
で定める．
空間ベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$と実数$\lambda$に対して，次のことが成り立つ．
- $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$．特に$\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$．
- $\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0$かつ$\vec{b}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0$．
つまり$\vec{a}\times\vec{b}$は$\vec{a},\vec{b}$の両方と直交する． - $\vec{a}\times(\vec{b}+\lambda\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\lambda\vec{a}\times\vec{c}$．
$(\vec{a}+\lambda\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\lambda\vec{a}\times\vec{b}$． - $|\vec{a}\times\vec{b}|$は，$\vec{a},\vec{b}$が張る平行四辺形の面積に等しい．
- $\vec{a}\times\vec{b}$の向きは「$\vec{a}$と$\vec{b}$の始点を揃えて，回転角が$180\degree$未満になるように$\vec{a}$から$\vec{b}$の向きに回転させたときに右ねじが進む向き」である．
略．
たとえば，$\vec{e}_1=(1,0,0),\vec{e}_2=(0,1,0),\vec{e}_3=(0,0,1)$に対して
\begin{align*}
(\vec{e}_1\times\vec{e}_2)\times \vec{e}_2
&=\vec{e}_3\times \vec{e}_2=-\vec{e}_1, \\
\vec{e}_1\times(\vec{e}_2\times\vec{e}_2)
&=\vec{e}_1\times\vec{0}=\vec{0}
\end{align*}
より$(\vec{e}_1\times\vec{e}_2)\times \vec{e}_2\ne\vec{e}_1\times(\vec{e}_2\times\vec{e}_2)$である．
スカラー4重積
4つの空間ベクトル$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$について，まず外積$\vec{a}\times\vec{b}$と$\vec{c}\times\vec{d}$を考え，（これらが空間ベクトルであることに注意して）さらにそれらの内積を取ることで
$$
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})
$$
という実数が得られる．この形の内積は，スカラー4重積と呼ばれている．
次の補題は，定理を示す鍵となる．
四面体$OABC$について，2平面$OCA$と$OAB$，$OAB$と$OBC$，$OBC$と$OCA$がなす角をそれぞれ$\alpha,\beta,\gamma$とする．
また$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$，$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$，$\vec{c}=\overrightarrow{OC}$とする．
このとき，次の式が成り立つ．
\begin{align*}
(\vec{c}\times\vec{a})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
&={-|\vec{c}\times\vec{a}|\cdot|\vec{a}\times\vec{b}|\cos{\alpha}} \\
&=-4|\triangle OCA|\cdot|\triangle OAB|\cos{\alpha}, \\
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
&={-|\vec{a}\times\vec{b}|\cdot|\vec{b}\times\vec{c}|\cos{\beta}}\\
&=-4|\triangle OAB|\cdot|\triangle OBC|\cos{\beta}, \\
(\vec{b}\times\vec{c})\cdot(\vec{c}\times\vec{a})
&={-|\vec{b}\times\vec{c}|\cdot|\vec{c}\times\vec{a}|\cos{\gamma}}\\
&=-4|\triangle OBC|\cdot|\triangle OCA|\cos{\gamma}.
\end{align*}
$\vec{c}\times\vec{a}$と$\vec{a}\times\vec{b}$のなす角を$\theta$とおく．
このとき，$\vec{c}\times\vec{a}$と$\vec{a}\times\vec{b}$で「四面体$OABC$の内側を向いているか外側を向いているか」が揃っていることに注意すれば，$\alpha+\theta=180\degree$であることがわかる（詳細略）から
\begin{align*}
(\vec{c}\times\vec{a})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
&=|\vec{c}\times\vec{a}|\cdot|\vec{a}\times\vec{b}|\cos{\theta} \\
&=|\vec{c}\times\vec{a}|\cdot|\vec{a}\times\vec{b}|\cos(180\degree-\alpha) \\
&={-|\vec{c}\times\vec{a}|\cdot|\vec{a}\times\vec{b}|\cos{\alpha}}
\end{align*}
となる．残りの式も同様に示せる．
定理の証明
冒頭の定理を証明する．
$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$は補題の通りとする．
外積の大きさが平行四辺形の面積を表すという性質から
\begin{align*}
2|\triangle ABC|
&=|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}| \\
&=|(\vec{a}-\vec{c})\times(\vec{b}-\vec{c})| \\
&=|\vec{a}\times\vec{b}-\vec{c}\times\vec{b}-\vec{a}\times\vec{c}+\vec{c}\times\vec{c}| \\
&=|\vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{c}+\vec{c}\times\vec{a}+\vec{0}| \\
&=|\vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{c}+\vec{c}\times\vec{a}|.
\end{align*}
（この式も簡潔かつ対称性があって綺麗ですね．）
よって
\begin{align*}
4|\triangle ABC|^2
&=|\vec{a}\times\vec{b}+\vec{b}\times\vec{c}+\vec{c}\times\vec{a}|^2 \\
&=|\vec{a}\times\vec{b}|^2+|\vec{b}\times\vec{c}|^2+|\vec{c}\times\vec{a}|^2 \\
&\qquad +2(\vec{c}\times\vec{a})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})+2(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{b}\times\vec{c})+2(\vec{b}\times\vec{c})\cdot(\vec{c}\times\vec{a})
\end{align*}
であり，右辺のスカラー4重積に補題を使うと
\begin{align*}
4|\triangle ABC|^2
&=4|\triangle OAB|^2+4|\triangle OBC|^2+4|\triangle OCA|^2 \\
&\qquad -8|\triangle OCA|\cdot|\triangle OAB|\cos{\alpha}-8|\triangle OAB|\cdot|\triangle OBC|\cos{\beta}-8|\triangle OBC|\cdot|\triangle OCA|\cos{\gamma}
\end{align*}
となるから，両辺を$4$で割れば所望の等式を得る．
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