余弦定理の四面体ver.

外積,余弦定理,空間ベクトル

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概要

三平方の定理と，その一般化である余弦定理は有名ですね．

三平方の定理

$C = 90 °$ の直角三角形 $A B C$ について，次式が成り立つ：
$c^{2} = a^{2} + b^{2} .$
ただし，3辺 $B C, C A, A B$ の長さを $a, b, c$ とした．

略．

余弦定理

（ $C = 90 °$ とは限らない） $△ A B C$ について，次式が成り立つ：
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C .$
ただし，3辺 $B C, C A, A B$ の長さを $a, b, c$ とした．

略．

また互いに直交する3面をもつ四面体については，三平方の定理と同様の式が成り立つこともよく知られています．

$∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 90 °$ の四面体 $O A B C$ について，次式が成り立つ：
$| △ A B C |^{2} = | △ A O B |^{2} + | △ B O C |^{2} + | △ C O A |^{2} .$
ただし，平面図形 $F$ の面積を $| F |$ とした．

頑張れば示せるが，次の定理の系として従うので略．

すると，三平方の定理を余弦定理に一般化したのと同じように，公式3を一般の四面体に対する公式へと一般化できないだろうか？という疑問が生じます．
これは実際に可能なので，その公式を紹介したいと思います．

四面体 $O A B C$ について，2平面 $O C A$ と $O A B$ ， $O A B$ と $O B C$ ， $O B C$ と $O C A$ がなす角をそれぞれ $α, β, γ$ とする．
このとき，次式が成り立つ：
$\begin{aligned} | △ A B C |^{2} & = | △ O A B |^{2} + | △ O B C |^{2} + | △ O C A |^{2} \\ - 2 | △ O C A | \cdot | △ O A B | \cos α - 2 | △ O A B | \cdot | △ O B C | \cos β - 2 | △ O B C | \cdot | △ O C A | \cos γ . \end{aligned}$
ただし，平面図形 $F$ の面積を $| F |$ とした．

これの証明は本記事の最後に行い，まずそのための準備から始めます．

準備

空間ベクトルの外積

外積とは，2つの空間ベクトルから，それらの両方に直交する空間ベクトルを構成する操作である．

外積

2つの空間ベクトル $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ に対して，外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を
$\vec{a} \times \vec{b} := (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$
で定める．

外積の基本性質

空間ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ と実数 $λ$ に対して，次のことが成り立つ．

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ ．特に $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ ．
$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ かつ $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ ．
つまり $\vec{a} \times \vec{b}$ は $\vec{a}, \vec{b}$ の両方と直交する．
$\vec{a} \times (\vec{b} + λ \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + λ \vec{a} \times \vec{c}$ ．
$(\vec{a} + λ \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + λ \vec{a} \times \vec{b}$ ．
$| \vec{a} \times \vec{b} |$ は， $\vec{a}, \vec{b}$ が張る平行四辺形の面積に等しい．
$\vec{a} \times \vec{b}$ の向きは「 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の始点を揃えて，回転角が $180 °$ 未満になるように $\vec{a}$ から $\vec{b}$ の向きに回転させたときに右ねじが進む向き」である．

略．

外積は結合法則を満たさない．

たとえば， ${\vec{e}}_{1} = (1, 0, 0), {\vec{e}}_{2} = (0, 1, 0), {\vec{e}}_{3} = (0, 0, 1)$ に対して
$\begin{aligned} ({\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{2}) \times {\vec{e}}_{2} & = {\vec{e}}_{3} \times {\vec{e}}_{2} = - {\vec{e}}_{1}, \\ {\vec{e}}_{1} \times ({\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{2}) & = {\vec{e}}_{1} \times \vec{0} = \vec{0} \end{aligned}$
より $({\vec{e}}_{1} \times {\vec{e}}_{2}) \times {\vec{e}}_{2} \neq {\vec{e}}_{1} \times ({\vec{e}}_{2} \times {\vec{e}}_{2})$ である．

スカラー4重積

4つの空間ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ について，まず外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ と $\vec{c} \times \vec{d}$ を考え，（これらが空間ベクトルであることに注意して）さらにそれらの内積を取ることで
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d})$
という実数が得られる．この形の内積は，スカラー4重積と呼ばれている．

次の補題は，定理を示す鍵となる．

スカラー4重積と四面体の側面積

四面体 $O A B C$ について，2平面 $O C A$ と $O A B$ ， $O A B$ と $O B C$ ， $O B C$ と $O C A$ がなす角をそれぞれ $α, β, γ$ とする．
また $\vec{a} = \vec{O A}$ ， $\vec{b} = \vec{O B}$ ， $\vec{c} = \vec{O C}$ とする．
このとき，次の式が成り立つ．
$\begin{aligned} (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) & = - | \vec{c} \times \vec{a} | \cdot | \vec{a} \times \vec{b} | \cos α \\ = - 4 | △ O C A | \cdot | △ O A B | \cos α, \\ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) & = - | \vec{a} \times \vec{b} | \cdot | \vec{b} \times \vec{c} | \cos β \\ = - 4 | △ O A B | \cdot | △ O B C | \cos β, \\ (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) & = - | \vec{b} \times \vec{c} | \cdot | \vec{c} \times \vec{a} | \cos γ \\ = - 4 | △ O B C | \cdot | △ O C A | \cos γ . \end{aligned}$

（気が向いたら追記します．）

$\vec{c} \times \vec{a}$ と $\vec{a} \times \vec{b}$ のなす角を $θ$ とおく．
このとき， $\vec{c} \times \vec{a}$ と $\vec{a} \times \vec{b}$ で「四面体 $O A B C$ の内側を向いているか外側を向いているか」が揃っていることに注意すれば， $α + θ = 180 °$ であることがわかる（詳細略）から
$\begin{aligned} (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) & = | \vec{c} \times \vec{a} | \cdot | \vec{a} \times \vec{b} | \cos θ \\ = | \vec{c} \times \vec{a} | \cdot | \vec{a} \times \vec{b} | \cos (180 ° - α) \\ = - | \vec{c} \times \vec{a} | \cdot | \vec{a} \times \vec{b} | \cos α \end{aligned}$
となる．残りの式も同様に示せる．

定理の証明

冒頭の定理を証明する．

（定理の証明）

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ は補題の通りとする．
外積の大きさが平行四辺形の面積を表すという性質から
$\begin{aligned} 2 | △ A B C | & = | \vec{C A} \times \vec{C B} | \\ = | (\vec{a} - \vec{c}) \times (\vec{b} - \vec{c}) | \\ = | \vec{a} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{c} | \\ = | \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{0} | \\ = | \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} | . \end{aligned}$
（この式も簡潔かつ対称性があって綺麗ですね．）
よって
$\begin{aligned} 4 | △ A B C |^{2} & = | \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} |^{2} \\ = | \vec{a} \times \vec{b} |^{2} + | \vec{b} \times \vec{c} |^{2} + | \vec{c} \times \vec{a} |^{2} \\ + 2 (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + 2 (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 2 (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) \end{aligned}$
であり，右辺のスカラー4重積に補題を使うと
$\begin{aligned} 4 | △ A B C |^{2} & = 4 | △ O A B |^{2} + 4 | △ O B C |^{2} + 4 | △ O C A |^{2} \\ - 8 | △ O C A | \cdot | △ O A B | \cos α - 8 | △ O A B | \cdot | △ O B C | \cos β - 8 | △ O B C | \cdot | △ O C A | \cos γ \end{aligned}$
となるから，両辺を $4$ で割れば所望の等式を得る．