京大特色(数理科学入試)2026受験記

1403

筆記

1,2,3と4の部分点？（微分可能性と$f(\alpha) = 1$なる$\alpha$の存在）の自称3完半。みんなこういうのをどれくらい解けるんだろうか。
全完できなかった原因としては、
・初等解が見つかっていない時に1をゴリ押しで倒す覚悟がなかなか決まらなかった
・1,2,3を解いた時点で1時間30分残っていたが、4が見えず...早々に$h$を消去してしまったのが痛そう。作問者の意図は読もう...加えて、一応必要な式は揃っていたものの、それ以外にも$0=0$を導くだけの余計な試行錯誤の跡がたくさんあってごちゃごちゃしていたのも良くなかった。
懸念点としては、怖い順に
・3で嘘or説明不足をやらかしていないよな...?
・2で漸化式の計算ミスしていないよな...?
・1のMuirhead（相加相乗で代替可能）は許されるよな...?
・4の部分点が欲しいです。

口頭試問の内容（うろ覚え）

記憶が曖昧なので、質問・発言の内容が違っていたり順番が前後したりしている可能性があります．

面接官(以下、官):$2^{\sqrt{2}}$と黒板に書いてください。
官:その数の定義を述べてください。
私:${\sqrt{2}}$に収束する有理数列$a_n$をとってきて$2^{a_n}$の極限...これは存在するので…ですがこれはこのままではwell-definedではないので、well-definedであることも示した方がいいですか…？
官:やってみてください。
私:…少し考えます……(悩む)(黒板に$2^{\sqrt{2} - \epsilon} < 2^{a_n} < 2^{\sqrt{2} + \epsilon}$と書く)……わかったかも………いややっぱもうちょっと考えます………
官:その$\epsilon$は何ですか？
私:($\epsilon N$の定義をかく)($\epsilon N$の内容を言う)。この$\epsilon$はこの定義から取れるやつで……有理数になるように……$n$は$N$以上で……(ここで遮られる)
官:とにかくそう言うふうにすれば示せる、と。

振り返り1:事前情報とかなり違って動転してしまったし、そういう状態で定義を聞かれたらまあこう答えてしまうよなぁ...とは思うものの、$x=0$で$2^x$は連続であることを示してから並行移動させるくらいは言えてもよかった（もちろんここでいう$2^x$が連続だというのは$\mathbb{Q} \ni x \mapsto 2^x \in \mathbb{R}$が連続だということ）し、そもそもどうせwell-definedかどうかが聞かれるんだからsupで定義すべきだった。

官:学びの報告書を見た感じ大学数学を学んでいるようですが、解析は学んでいますか？
私:一応解析教程という本で…コーシー列を使った実数の構成とか…ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とか、中間値の定理とかの証明を追ったりしました。
官:大学では$e^x$や$\sin{x}$をどのように定義するか、聞いたことはありますか。
私:マクローリン展開で定義する…マクローリン展開のほうを定義にする、と聞きました。複素関数論の本を読んだときに...
官:それを使って…$2$だと面倒なので$e$にしましょうか、$e^{\sqrt{2}}$を定義してみてください。
私:(書く)。この級数は収束するので。
官:そういうふうに定義した時、どういうことを確かめないといけませんか。
私:とりあえず指数法則を満たすかどうか………あとは三角関数の方は(単位円と$\theta$、$(\cos x,\sin x)$を書く)これが成り立つかどうか、ですかね。

振り返り2:詰んでるのを見かねたのかは知らないが、誘導が入った（他の人は入ってないっぽくて、なぜ？）。受けてる時は誘導とは思わなかったので三角関数の方にも言及したが、今思うと代わりに$e^x$をマクローリン展開で定義した時の収束半径や連続性に言及した方が良かったか？

官:大学でどう学びたいか…どういうステップを踏んでいってどういう目標に向かって学びたいのかについて、教えてください
私:一つは、…エタールコホモロジーのような、数論でのコホモロジー的な手法が…まだ全然知らないんですけど…を理解したい…というのが一つ。一つは、多項式が好きで、特に有限体上の多項式を調べたい、となったとき、代数多様体…なのかなぁ、と。最後に、…これは目標というか夢というか…凸関数を層を使って調べたい……通常の凸関数の離散類似は色々あるんですが、それらを統一的に扱いたい…そのときに層が使えないかな〜というものです。
官:それらを目標に、どのような順番で何を学んでいこうと思っていますか？
私:まず線形代数や微積分、位相空間論の演習を積みたいです、まだあまり積めていないので…そうしたらAtiyah-Macdonaldの可換代数入門を読んで、演習問題を解いていきたいです。あとは「層とホモロジー代数」と言う本で、層やホモロジー代数について学びたいです。それが終わったら、スキーム論をやりたいです。

振り返り3:質問にはちゃんと答えよう...あと代数を既に進めているアピールをもうちょい挟みたかった。

官:エタールコホモロジーという言葉が出てきたと思うんですけど、コホモロジーで何ができるのでしょうか。
私:そうですね…位相空間の同型…同型でないことを示したいというときに、不変量…同相で変わらない不変量があると良い、ですよね。
官:学びの報告書を見せてもらったんですけど、イデアルという言葉がよく出てきますね。イデアルの意義ってなんでしょうか。
私:歴史的には、代数体の整数環では素因数分解ができないけどイデアルを使ったら似たようなことができるようになるので、それが一つ、あとは…正規部分群…(群の準同型定理を書く)…群の準同型定理と似たようなことを環でできるようになって、非自明な同型が得られる、っていう…。

振り返り4:エタールコホモロジーの話を出したなら「ある種の不動点定理が証明できて〜」「連続写像を線型写像に変換（？）できるのは強そう」とか言っておけば良かったし、可換環論や代数幾何をやりたいと言ったのなら「極大イデアルで割ると環は体になって、加群はベクトル空間になるから便利」「素イデアルを点と見ればそこから環を幾何的な対象とみなせる、と聞いた」くらいは言えて良かったかもだが、深掘りされると詰んでた恐れもあって微妙。ただ、（高々アティマク1,2,3章程度の）可換環論の方に誘導すればもっとアピールできたはずなので、敗因が存在するとしたらここか...？

官:数学以外に興味のあることはありますか？
私:離散最適化を...今離散凸解析を少しやっていて、その中で経済との関連が度々見られるので、経済に興味があります。あとは、学校で専攻...選択しているので地理にも興味があって、特に地学みたいな部分に興味があります。
官:地学というと？
私:あー...地学という言い方は適切ではなかったかもしれません、気候とか植生とか地形とか...農業とか、地誌以外...地球にそっくりの別の惑星があったとして、そこでも使える知識が好きで...興味があります。
官:応用にも興味があるんですね？
私:はい。

振り返り4:落ち着いて考えると一番に話題に出すのは情報科学であるべきだったか？離散最適化なら色々話せるし、一応情達erだし...過去にあった「好きな文系科目はなんですか？」という質問に引っ張られたかも。

官:口頭試問は以上です。

振り返り5:自己アピール＆志望動機聞かないんですか！！？？そのせいもあって終わった瞬間は「意外と楽だったな〜〜（質問に答えるだけでいいので）」と思っていたが、こうしてまとめてみると「アピールが全然できてなくてまずいかもしれない！！！！」と思えてきた。