対称式の基本定理の証明

$n = 1$であるときはこれは明らかである．
$n > 1$とし，$n$より小さい正整数に対してはこの補題が成り立つと仮定する．$n$個の指標$\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n$が従属であるとすると，ある$a_1, a_2, \dots, a_n \in K$（ある$i$に対し$a_i \neq 0$）であって
$$ a_1 \sigma_1(x) + a_2 \sigma_2(x) + \cdots + a_n \sigma_n(x) = 0 \tag{1} $$
となるものが存在する．そして，帰納法の仮定により，全ての$i$に対し$a_i \neq 0$であるから，これの両辺に$a_n^{-1}$を乗じることにより
$$ a_1 a_n^{-1} \sigma_1(x) + \cdots + a_{n - 1} a_n^{-1} \sigma_{n - 1}(x) + \sigma_n(x) = 0 \tag{2} $$
を得る．
一方で，式(1)に$ax$を代入することにより，等式
$$ a_1 a_n^{-1} \sigma_1(ax) + \cdots + a_1 a_n^{-1} \sigma_n(ax) = 0, $$
すなわち
$$ a_1 a_n^{-1} \sigma_1(a) \sigma_n(a)^{-1} \sigma_1(x) + \cdots + a_{n - 1} a_n^{-1} \sigma_1(a) \sigma_{n - 1}(a)^{-1} \sigma_{n - 1}(x) + \sigma_n(x) = 0 \tag{3} $$
を得る．そして，(3)から(2)を引くことにより
$$ a_1 a_n^{-1} [\sigma_1(a) \sigma_n(a) - 1] \sigma_1(x) + \cdots + a_{n - 1} a_n^{-1} [\sigma_{n - 1}(a) \sigma_n(a)^{-1}] \sigma_{n - 1}(x) = 0 $$
という関係が得られるが，帰納法の仮定により，全ての$i$に対して$\sigma_i(a) \sigma_n(a)^{-1} - 1 = 0$，すなわち$\sigma_i(a) = \sigma_n(a)$となり，$\sigma_1, \dots, \sigma_n$が相異なるという仮定に矛盾する．

自明．

$[L : K] = r < n$とし，$\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_r$を$K$上のベクトル空間$L$の基底とする．このとき，連立方程式
$$ \sum_{i = 1}^{n} x_i \sigma_i(\omega_j) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n \tag{4} $$
は$K$内で非自明解$x_1, x_2, \dots, x_n$をもつ．$\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_r$は$L$の$K$上の基底だから，任意の$\alpha \in L$に対しある$a_1, a_2, \dots, a_n \in K$が存在して$\alpha = a_1 \omega_1 + \cdots + a_r \omega_r$が成り立つ．よって，(4)の$i$番目の方程式に$a_i$を乗じれば，$K$は$\sigma_1, \dots, \sigma_n$の固定体だから$\sigma_j(a_i) = a_i$，したがって次の線形結合が得られる:
$$ x_1 \sigma_1(\alpha) + x_2 \sigma_2(\alpha) + \cdots + x_n \sigma_n(\alpha) = 0 \text{.} $$
しかし，これは補題2の系に矛盾である．

補題3により，$[L : F] \geq n!$であり，そして$S \subseteq F$だから$[L : S] \geq [L : F]$である．よって，$[L : S] \le n!$であることを示せばよい．
各$i = 1, 2, \dots, n - 1$に対し$S_i = S(X_{i + 1}, X_{i + 2}, \dots, X_n) = S_{i + 1}(x_{i + 1})$とし，$S_n = S$とすることで，体の上昇列
$$ S = S_n \subseteq S_{n - 1} \subseteq \cdots \subseteq S_1 \subseteq S_0 = L $$
が得られる．よって$[L : S] = [S_0 : S_n] = \prod_{i = 1}^{n} [S_{i - 1} : S_i]$である．一方で，各$i = 1, 2, \dots, n - 1$に対して多項式$F_i(T)$を
$$ F_i(T) = \frac{f(T)}{(T - X_{i + 1})(T - X_{i + 2})\cdots(T - X_n)} $$
と定義し，$F_n(T) = f(T) = \prod_{i = 1}^{n} (T - X_i)$とすると，各$i = 1, 2, \dots, n$に対して$F_i(T) \in K[s_1, \dots, s_n, X_{i + 1}, \dots, X_n][T]$となり，明らかに$F_i(X_i) = 0$であるから，各$i$に対して$[S_{i - 1} : S_i] \le i$，よって$[L : S] \le n!$である．

$A_i = K[s_1, \dots, s_n, X_{i + 1}, \dots, X_n]$（各$s_i$は基本対称式）とし，$F_i(T) \in A_i[T]$を補題4の証明と同様とする．このとき，$\deg{F_i} = i$かつ$F_i(T)$は$X_i$を根として持つから，各$X_i^i$は$A_i[X_i]$の$i$次未満の多項式として表すことが出来る．よって，任意の$p(X_1, \dots, X_n) \in K[X_1, \dots, X_n]$は，$K[s_1, s_2, \dots, s_n]$係数の次の$n!$個の線形結合として表すことが出来る:
$$ X_1^{\nu_1} X_2^{\nu_2} \cdots X_n^{\nu_n}, \quad \nu_i < i \quad \text{for each $i$.} \tag{5} $$
そして，補題4の証明から分かるように，これらは$K(s_1, \dots, s_n)$ベクトル空間$K(X_1, \dots, X_n)$の基底であるから，これらは線形独立である．
$p(X_1, \dots X_n) \in K[X_1, \dots, X_n]$が対称式であるとき，これは補題4により$K(s_1, \dots, s_n)$に入るから，線形結合(5)の項で$\nu_1 = \cdots = \nu_n = 0$であるもの以外の係数は全て$0$である．ゆえに$p(X_1, \dots, X_n)$は$K[s_1, \dots, s_n]$の元であり，これはすなわち$p(X_1, \dots, X_n)$が$K$係数の基本対称式の多項式として表せるということである．